Was ist das algebraische Komplement oder Kofaktor??

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Mattes_01 Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist das algebraische Komplement oder Kofaktor??
Hallo zusammen!

ich wollte mal kurz fragen, was das algebraische Komplement ist und wie man das bildet.

Habe da im Netz irgendwie nur Mist gefunden, villeicht weiss das ja einer von euch?!?

Falls einer noch ein kleines Beispiel geben kann, was das bringt, bzw wofür man das braucht, wäre das noch besser :-)

EDIT:
Also ich nehme eine Matrix A (nxn) und wähle daraus ein Element:)

Dann streiche ich aus der Matrix die i-te Spalte und die j-te Zeile.

ist das algebraische Komplement

Weiter gehts dann mit: = det



Das heisst doch eigentlich nur, dass ich quasi jedes Element aus der gestrichenen Zeile mit der dazugehörigen detA (und dann noch + oder -), je nach Rang, multipliziere, oder?

Also genau n mal.

da soll dann übrigens +/- det A rauskommen.

Das verstehe ich aber irgendwie nicht so wirklich.


Es geht noch weiter:

OK:
Sei det 0. Wähle B =
als:
=

In meinen Mitschriften steht dann noch: berechne

Irgendwer ne Ahnung was das soll, bzw wie das überhaupt funktioniert, und ob ich da irgendeinen Fehlöer drin habe???

Am goilsten wäre ein Beispiel an einer 3x3 Matrix, weil learnig by seeing is doch immernoch am besten ;-)

Thx und Gruss Mattes
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was ist das algebraische Komplement oder Kofaktor??
Steht doch eigentlich schon alles da, was du brauchst. Mal ein Beispiel, zu berechnen soll sein:



nun, Entwicklung nach der zweiten Zeile zB:



= (die Restrechnung überlasse ich dir) ... = 17.

Das ist das eine (nämlich wie die Determinante nach dieser Regel berechnet wird); die mit M abgekürzten Untermatrizen heißen die Minoren, wenn du sie noch mit dem richtigen Vorzeichen versiehst, erhälst du die Co-Faktoren.
Wenn du Spass hast, kannst du gerne mal nach einer anderen Zeile oder Spalte entwickeln. Big Laugh

Dann das andere: wenn du dasselbe mit einer anderen Zeile machst, kommt Null raus, teste mal aus:

zB stecke ich statt der zweiten mal die 3-te Zeile ins Geschäft:


= ... = 0.

Das ist auch schon alles, was du für den zweiten Teil deiner Frage brauchst.
Schreibe mal A * B hin und wende die obigen Regeln an und du wirst sehen was rauskommt. Big Laugh
Mattes_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal danke!

Ich verstehe aber nicht ganz, wieso wir das im Zuusammenhang mit Inversen von Matrizen steht...


Naja bei dir sind ein paar kleine Fehler drin:



Das müsste doch eigentlich + 1(hinten) heissen, oder?

Weil man doch (-1)^j+k nehmen muss, also da +1 sein muss, oder?

Und die Determinante muss nach jeder Zeile oder Spalte die selbe sein, oder bin ich leicht verwirrt??


Naja danke erstmal Gruss
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Aus den beiden erstgenannten Eigenschaften, die man zusammengefasst



schreiben kann, folgt (natürlich nur im regulären Fall ) unmittelbar



oder in Matrixschreibweise (Einheitsmatrix), d.h., . Da hast du deine Inverse.
Mattes_01 Auf diesen Beitrag antworten »

OK soweit kann cih dir folgen, aber wozu braucht man dann die 2. Formel, mit dem usw
Bzw was kann man dann damit berechnen??


Weiss das zufällig einer?

Thx und Gruss Mattes
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mattes_01
OK soweit kann cih dir folgen, aber wozu braucht man dann die 2. Formel, mit dem

Na die Formel



fällt ja nicht vom Himmel, sondern folgt aus den ersten Übnerlegungen sowie eben dieser Festlegung

.
 
 
Mattes_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dieser Formel verstehe ich noch nit so ganz: , vor allem wieso teilt man durch die Determinante??

Oder wählt man das einfach, bzw hat man das einfach mal festgelegt?

Sorry, wenn cih so auf dem Schlauch stehe, aber kann da noch nit so wirklich folgen.

EDIT: Also hier legen wir fest, was B sein soll bzw. wie die Elemente der Matrix B bestimmt sind (bis hierhin nur eine Vermutung??) und im weiteren Verlauf beweisen wir, dass wenn man die Elemente von b nach der Formel wählt, dass man beim Multiplizieren der Matrizen für i=j die 1 und sonst null bekommt!

Ist das so richtig??

Thx und Gruss
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so etwa. Und man teilt durch , damit hier



in der oberen Zeile eine statt des erscheint.
Mattes_01 Auf diesen Beitrag antworten »

ok damit sich das rauskürzt man will ja die 1 haben!

Also dann denke mal ich habe das jetzt verstanden!

Vielen lieben Dank für die nette Hilfe!

Bis demnächst!

Gruss
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mattes_01

Naja bei dir sind ein paar kleine Fehler drin:



Das müsste doch eigentlich + 1(hinten) heissen, oder?

Weil man doch (-1)^j+k nehmen muss, also da +1 sein muss, oder?

Und die Determinante muss nach jeder Zeile oder Spalte die selbe sein, oder bin ich leicht verwirrt??


Da muss wirklich eine -1 stehen. Das richtige Vorzeichen für die 2-te Zeile und 3-te Spalte erhälst du aus .

Die Determinante kannst du nach dieser Formel (der sog. Laplace'sche Entwicklungssatz) nach jeder Zeile oder Spalte entwickeln, ja. Vorzugsweise wird man dabei nach solchen Zeilen oder Spalten entwickeln, die viele Nullen enthalten.
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