Invertierbarkeit einer "nilpotenten" Matrix |
| 27.12.2005, 20:28 | Der Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Invertierbarkeit einer "nilpotenten" Matrix A^k =0 für eine natürliche Zahl k. A^k ist hierbei A x A x A x ... x A (k-mal). Dann ist E+A invertierbar. Die Lösung muß superelementar sein, da die Aufgabe am Anfang eines Buches steht, wo noch nichtmal Determinanten eingeführt wurden. Wer kann helfen? |
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| 27.12.2005, 20:30 | Der Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Vermutung noch: Vielleicht gibt es eine konkrete Matrix bei der man sofort sieht das (E+A) x F = E ist ??? |
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| 27.12.2005, 20:40 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stichwort: endliche geometrische Reihe |
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| 27.12.2005, 20:41 | Der Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich nehme an es gibt so ein F. Ich multipliziere mit dem Distributivgesetz aus und erhalte: E x F + A x F = E ---> A x F = E x E - E x F ---> A x F = E x (E - F) Nun multipliziere ich auf beiden Seiten mit A^(k-1), und zwar von links: ---> A^(k-1) x A x F = A^(k-1) x E x (E - F) ---> 0 x F = A^(k-1) x (E - F) ---> 0 = A^(k-1) x E - A^(k-1) x F ---> A^(k-1) x F = A^(k-1) x E ---> A^(k-1) x F = A^(k-1) Und ab da isses doch absurd?!?!? Oder was? |
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| 27.12.2005, 20:43 | Der Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, verstehe leider garnicht wie du das meinst... ich habe doch garkeine Einträge? Oder gibt es auch geometrische Reihen für Matrizen? |
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| 27.12.2005, 20:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du diese Formel durch Hochmultiplizieren des Nenners bruchfrei schreibst und durch ersetzt, dann siehst du vielleicht, worauf es hinausläuft. |
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| 27.12.2005, 20:51 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist gemeint. Und du musst ausnutzen, dass . Gruß vom Ben Edit: Da war Leopold schneller und hat mehr Tipps gegeben. |
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| 27.12.2005, 20:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Ben Sisko Hey, Ben! Aus dem "Urlaub" zurück? |
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| 27.12.2005, 21:01 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Urlaub stell ich mir anders vor 
Aber ich hab mir vorgenommen, hier wieder öfter reinzuschneien, ja... Gruß vom Ben |
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| 27.12.2005, 21:02 | Der Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja ich kenne das das man da (q-1) ausklammern kann oben und es dann mit dem Nenner wegkürzen kann.... aber wir reden hier doch von Matrizen da gilt diese ganze Binomialverteilungssache doch garnicht... kannst du bitte etwas wesentlich konkreter werden weil ich hier echt schon lange dran sitze... 
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| 27.12.2005, 21:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Matrizen bilden einen Ring mit Einselement. Solange beim Multiplizieren nicht vertauscht werden muß und solange nicht dividiert wird, gelten bekannte Formeln über Körpern wie z.B. weiter. Und mehr kann ich nicht helfen ... Der nächste Schritt wäre, das Ergebnis zu verraten. |
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| 27.12.2005, 21:14 | Der Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber ich weiß nochnichtmal wie man da auf eine geometrische Reihe kommt?! Ich sitze hier echt seit mehr als 2 Stunden dran, und ich will es unbedingt heute abend noch wissen und hab nicht schon wieder Lust wegen einer Aufgabe die ganze Nacht durchzumachen. Bitte gibt mir doch nochmal nen Wink, zB was überhaupt eine geometrische Reihe dadrin verloren hat. |
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| 27.12.2005, 21:16 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Multipliziere einmal aus: usw. |
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| 27.12.2005, 21:31 | Der Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das habe ich?!?! nur kann ich a) keine Regelmäßigkeit entdecken und weiß b) nicht im geringsten, was das mit meinem Probem zu tun hat... Bitte werde doch etwas konkreter... |
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| 27.12.2005, 21:37 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
LÖSUNG Voraussetzung: Setze Dann gilt: Somit gilt: |
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| 27.12.2005, 21:53 | Der Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die Hilfe! |
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