Kreisaufgabe

28.12.2005, 12:19

.seb.

Kreisaufgabe

So ich habe folgendes Problem, komme aber über einen Ansatz nicht hinaus:

Aufgabenstellung :

$\begin{eqnarray*} g0:\vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h0:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 11 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Untersuchen Sie, ob es Kugeln Kb mit den Mittelpunkten Mb (b/1/0) $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, deren Tangenten die Geraden g0 und h0 sind.
Ermitteln Sie gegebenenfalls die Koordinaten der Mittelpunkte Mb dieser Kugeln Kb. Die Ebene F schneidet die Kugel K in einem Kreis k. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes Mk und den Radius r k des Schnittkreises k.

Mein Lösungsansatz (teilweise):

Mb als Gerade r:

$\begin{eqnarray*} r: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

h0 || r ->

H1 :
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

h0 in H1 :

4 - 8t = 0 ; t=0.5
TP (0 / 4 / 11)

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{TPMo} \mid = r ; r = \sqrt{130} \end{eqnarray*}$

So mehr wes ich jetzt nicht... verwirrt

28.12.2005, 14:44

bounce

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okay dann versuch ich mal dir auf die Sprünge zu helfen. ALso wenn entsteht ein Shcnittkreis welche Bedingung muss dies erfüllen? Was bedeutet die Geraden sind die Tangenten an der Kugel ?? mhh ein Tipp hat alles mit Abständen zu tun

mfg

28.12.2005, 19:57

.seb.

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Jo da habe ich mir noch was überlegt, bin aber eher die Trantüte im Leistungskurs, also nehmt es mir nicht übel.
Danke für den Tipp mit den Abständen usw...

Also ich stelle mir mal zwei Hilfsebenen aus den Geraden auf:

aus g0 : H1: -y + z +1 = 0
aus h0 : H2: -x + b = 0

g0 in H1 -> TP1 (10/5/4)
h0 in H2 -> TP2 (b/4/11)

|MbTP1| -> $\begin{eqnarray*} \sqrt{(10-b)^{2} + 32 } \end{eqnarray*}$
|MbTP2| -> $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 130 } \end{eqnarray*}$

|MbTP1| = |MbTP2|

Mb1 = (0.1 / 1 / 0) ; Mb2 = (19.8 / 1 / 0)

Kugel : K: $\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} )^{2}=36 \end{eqnarray*}$
Ebene: F: $\begin{eqnarray*} -2x+y+2z=0 \end{eqnarray*}$

F(Hesse) : -2x+y+2z*1/3 = d; Mk in F -> d
d(Mk, F) = 3

r= 6

So Satz vom Kumpel Pythagoras mal angewendet wah ...

$\begin{eqnarray*} rk = \sqrt{ r^{2} - d(Mk,F)^{2} } \end{eqnarray*}$
rk = $\begin{eqnarray*} \sqrt{27} \end{eqnarray*}$ Buschmann

Fußpunktgeschichte da:

Hg: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hg in F ; r = -1 -> Mk

Mk (0/0/0)

Korrekt ?

29.12.2005, 09:48

riwe

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alles korrekt
(oder wir haben uns beide verrechnet)
werner

29.12.2005, 12:08

.seb.

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Zitat:

alles korrekt

So jut hab ich das erstmal.
Das letzte Ding bekomme ich aber jetzt mal gar nicht hin.
Ich weis nicht mal wie man da rangeht. Ich mach da dafür aber jetzt keinen eigenen Beitrag auf.

Aufgabe :
Es existiert ein Punkt P außerhalb der Kugel K so, dass alle Tangenten an die Kugel K durch diesen Punkt P jeweils den Schnittkreis k in einen Punkt Bk berühren. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P. Erläutern Sie Ihren Lösungsweg.

Hilfe

und wenns nur brauchbare Tipps sind.

29.12.2005, 12:33

riwe

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genug tip?
skizze machen, hilft ab und zu.
werner

29.12.2005, 12:44

Leopold

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Tip: Kathetensatz

29.12.2005, 13:22

.seb.

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Hm ja ich hatte nur Probleme mir das vorzustellen, so dass ich nie eine brauchbare Skizze hatte...

(M0 Bk)²=(M0 P)*(M0 Mk)

(M0 P) = (M0 Bk)²/ (M0 Mk)

(M0 P) = | 12 |

$\begin{eqnarray*} Hg: \vec{x} =r \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

F(Hesse): -2x+y+2z*1/3 = 9

Hg in F(Hesse) -> r $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 3

r in Hg -> P(-6 / 3 / 6) P2(6 / -3 / -6)

Geometrisch kommt P2 in Frage.

Begründung: Anwendung des Kathetensatzes; Aufstellung einer Hilfsgleichung zur Ermittlung des Punktes P.

Danke erstmal. Mit Zunge

29.12.2005, 13:28

Leopold

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Es geht noch einfacher. Da die Hypotenuse 12 ist und der untere Hypotenusenabschnitt 3, hat der obere die Länge 9. Er ist also dreimal so groß wie der untere. Deshalb gilt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP} = -3 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kontrolliere noch einmal deine Vorzeichen.

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