Funktion 3. Grades Steigung gesucht anhand Graphik |
| 28.12.2005, 13:07 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktion 3. Grades Steigung gesucht anhand Graphik brauche unbedingt Hilfe! wie ermittle/errechne/schätze ich die Steigung einer Funktion 3. Grades anhand einer Graphik ab? ps bitte um Antwort! sehr wichtig! Man hat nur die Graphik gegeben keinerlei Funktionsgleichung oder sonstiges, d.h. man kann nur mit der Graphik arbeiten lg chrizzy |
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| 28.12.2005, 13:13 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal sollte gesagt sein, dass eine Funktion 3. Grades nicht in jedem Punkt die selbe Steigung hat. Du kannst also keine allgemeine Steigung berechnen bzw. in deinem Fall schätzen. Serwohl aber die, in einem bestimmten Punkt Mache dir ein Steigungsdreick. Nimm dir einen zweiten Punkt , der nahe dem Punkt liegt und ermittle so eine ungefähre Steigung im Punkt . edit: Eine andere Möglichkeit wäre, jenachdem wie genau deine Zeichnung ist, dass du markante Merkmale wie Achsenschnittpunkte, Extrema und Wendepunkte ablesen kannst. Aus den gegebenen Informationen kannst du dann ein Gleichungssystem aufstellen und die zur Zeichnung gehörende Funktionsgleichung ermitteln. Gruß, mercany |
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| 28.12.2005, 13:34 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi danke für die Antwort! nur leider kann ich mir nicht wirklich vorstellen wie ich da angehen soll! kannst du mir vielleicht anhand einer Beispielsfunktion f(x) =1/100 *(x-10)*(x-10)*(x-5) (die haben wir zum Überprüfen gekriegt) mit skizze deinen lösungsweg erklären?! ich komme da nicht so klar damit! lg chrizzy |
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| 28.12.2005, 13:40 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi nochmal kannst du mir das auch mit dem Gleichungssystem erklären? also laut Graphik ist der Wendepunkt (5/3) Hochpunkt (0/5) Tiefpunkt (10/0) Der Hochpunkt ist hier gleichzeitig der y-Achsenabschnitt die Nullstellen der f(x)= 1/100 *(x-10)*(x-10)*(x-5) sind -5 Durchgangsstelle und 10 Berührstelle ich würd mich wahnsinnig freuen, wenn du mir das erklären kannst! lg chrizzy |
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| 28.12.2005, 13:50 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sicher, dass deine Kontrollfunktioin richtig ist? |
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| 28.12.2005, 13:52 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi hab mich verschrieben Wendepunkt ist bei (5/2,5)! |
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| 28.12.2005, 13:54 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi hab nochmal telefoniert anscheinend hat der lehrer sich verschrieben denn bei (x-5) müsste(x+5) stehen?! lg chrizzy |
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| 28.12.2005, 14:02 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi dass mit dem Steigungsdreieck hab ich probiert und zwar so P1 (3/3,8) und P2 (4/3,3) dann hab ich 3,8-3,3 gerechnet gibt 0,5 und 3-4 gibt -1 wo ich dann bei m = -0,5 lande und das kann nicht stimmen weil ja 1/100 die Steigung von f(x) ist?! kannst du mir helfen? |
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| 28.12.2005, 15:34 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne, dass ich jetzt mal alle deine Schritte nachvollzogen hätte... Das was ich oben zitiert hab ist komplett falsch. Du willst die Steigung des Graphen im Punkte P mit P(x0|y0) berechnen. Und die kann sehr wohl -0,5 sein. Die 1/100 sind ein Faktor um den der Funktionsgraph gestaucht wird. edit: und ich hab gerade festgestellt, dass der Plotter den Ausdruck "mal (1/100)" nicht rafft, sondern nur "durch 100", somit sieht der Graph dann auch wie folgt aus: |
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| 28.12.2005, 15:54 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du setzt an mit und musst die Informationen ausnutzen, die du durch die Punkte gegeben hast. Hier ist das z.B. f(5)=3 Was für Informationen kannst du noch herausholen (auch daran denken, dass die angegebenen Punkte "besondere" Punkte sind, man kann auch etwas über die Ableitung sagen. Gruß vom Ben |
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| 28.12.2005, 18:47 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi danke für die Antwort! doch leider muss ich gestehen, weiß ich nicht wirklich, was ich machen soll, denn das mit den gleichungssystemen hatten wir bisher in der schule noch nicht ich hab zwar irgendwie probiert, etwas zu rechnen, doch es ist nicht wirklich etwas dabei rausgekommen! könntest du mir nicht anhand der oben genannten Daten erklären wie ich mit Hilfe der Gleichungssysteme oder auch auf anderem Wege auf die 1/100 komme die in der Ursprungsfunktion f(x)= 1/100 (oder 0,01) *(x-10)²*(x+5) komme? wäre echt super, denn so langsam aber sicher bin ich echt am verzweifeln! lg chrizzy |
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| 28.12.2005, 18:53 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Chrizzy, in welcher Klasse bist du und was ist deine genaue Aufgabe? Du hast doch nur den Graph gegeben, oder? Und was willst du nun genau herausfinden? |
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| 28.12.2005, 19:20 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi ob du´s glaubst oder nicht, schäm ich mich schon langsam! bin in der 12. Klasse auf der Berufsoberschule (also eine Art 2. Bildungsweg ums abi zu erlangen Voraussetzung ist Berufsabschluss) bin erst seit 3 Monaten in der Schule wieder und war davor in der Lehre also ich muss etwas weiterausholen ich muss bis nach den Weihnachtsferien mein Fachreferat in Mathe machen Die Aufgabenstellung lautet: Darstellung der Zusammenhänge von f(x) f´(x) und f´´(x) anhand von Funktionsbeispielen also wir haben bis jetzt immer nur mit Funktionsgleichungen die 1. und 2. Ableitung errechnet und gezeichnet, doch jetzt soll ich nur durch die Zeichnung der Ursprungsfunktion f(x) in der Lage sein die 1 und 2 Ableitung zu schätzen, wo und wie diese verläuft. so weit bin ich gut vorangekommen aber jetzt stocke ich beim Erklären der Funktion 3.Grades! Denn um eine geschätzte 1. Ableitung zu erlangen also f´(x) brauche ich ja a also den Steigungsfaktor von der f(x) allgemeine Form ist doch ax³+bx²+cx+d und wenn ich die 1. Ableitung haben will muss ich doch 3*ax²+2*bx+1*c machen, doch wie komme ich denn auf a???? ohne dass ich Gleichungssysteme benutzen muss? Denn ich muss ja den leuten in meiner Klasse erklären können, wie ich weiß, wo oder was ich anschauen oder tun muss! bei der Funktion 2. Grades hab ich einfach gesagt man muss vom Scheitelpunkt aus sich ein Steigungsdreieck zeichnen (beliebig) und dann einfach den y- Wert und x-Wert ablesen und schon hat man y-Wert/x-Wert was ja m ist bzw a also die Steigung der Parabel oder Öffnungsfaktor! Edit: Smilie entfernt. Ben |
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| 28.12.2005, 19:33 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du mit m jetzt die Steigung der Ableitung? 
Du musst dir glaube ich noch einmal klar machen, wie Funktion und 1. Ableitung zusammenhängen. Stell dir z.B. vor. Dort ist die Steigung in jedem Punkt eine andere! Die Steigung wird nun für jeden Punkt durch die 1. Ableitung angegeben. Will ich etwa die Steigung an der Stelle 3, also am Punkt (3;9) haben, so berechne ich . Dies ist die Steigung von f im Punkt (3;9) (also die Steigung der Tangenten an den Graph von f im Punkt (3;9)). Kann mal jemand Drittes checken, ob Chrizzy und ich total aneinander vorbei reden? Gruß vom Ben PS: Die Aufgabe sieht mir nicht so aus, als solltet ihr die Funktion anhand der abgelesen Punkte aufstellen, also kannst du das mit den Gleichungssystemen erstmal vergessen. Edit: Ich verstehe deine Aufgabe so, dass du anhand des Graphen die Ableitung tendenziell angeben/schätzen können sollst, also wo ist sie positiv/negativ, wo ist sie steigend/fallend. |
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| 28.12.2005, 19:52 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja ich glaub ich habs anders gemeint und zwar bei der f(x)= x² ist ja die allgemeine Forma f(x)=ax² so und bei der f(x)=x² ist a =1 also f(x)= 1*x² das habe ich gemeint! nicht für einen Punkt ! also ich suche a für die Funktion 3.Grades !!a!!!x³+bx²+cx+d Beispiel: ich hab eine funktion 3. Grades die lautet f(x)= 3x³+4x²+5x+3 dann ist f´(x)= 3*3x²+4*2x+5*1=9x²+8x+5 und f´´(x) = 9*2x+8*1=18x+8 so und nun stell dir vor oder besser zeichne im plotter (ich weiß leider nicht wie´s geht sorry) die f(x) ein dann hast du ja nur die Zeichnung von dem Graphen f(x) ja? und nun stell dir vor, du hättest keine Angabe über f(x) und du sollst abschätzen, wie f´(x) und f´´(x) ausschauen! um dass machen zu können, benötigt man doch zuerst einmal die ungefähre f(x) und hier beginnt mein Problem um ungefähr f(x) zu ermitteln muss man nach der allgemeinen Formel gehen also ax³+bx²+cx+d also 1.Schritt man muss auf a kommen, doch wie? 2. Schritt man muss auf b kommen ? 3. Schritt man muss auf c kommen? 4.Schritt man muss auf d kommen? so wenn man dann auf eine ungefähre (geschätzte) Funktionsgleichung gekommen ist, kann man durch Berechnen die 1. und 2. Ableitung ermitteln und somit feststellen, wie die beiden in dem Koordinatensystem liegen Doch leider weiß ich nicht wie ich auf die Lösung der 4 Schritte kommen soll! weißt du nun was ich meine? |
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| 28.12.2005, 19:56 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine a,b,c und d's soll man meines Erachtens nach hier nicht schätzen (das halte ich auch für nicht einfach). Dann müsstest du es wirklich exakt ausrechnen, Gleichungssystem aufstellen etc. wie oben beschrieben. Hab aber oben im edit beschrieben, dass ich die Aufgabe anders verstehe:
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| 28.12.2005, 20:33 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mit dem graph hast du völlig recht doch ich möchte ja gerne nicht auf -0,5 sondern auf 1/100 kommen, denn diesen Faktor brauche ich ja! siehe unten Schritte! |
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| 28.12.2005, 20:41 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry war mein fehler aber diese funktion ist ja nur ein Beispiel gewesen damit man mir helfen kann die einzelnen schritte irgendwie zu ermitteln ich soll ja verschiedene funktionsbeispiele des 3.Grades beschreiben können, also schätzen wo die 1. und die 2. Ableitung liegen, doch wie gehe ich da am geschicktesten vor? wenn nicht durch eine circa-Rechnung durch die 4 Schritte? ich weiß ja generell, dass die 1. Ableitung meistens eine Parabel ist und die 2. Ableitung meistens eine Gerade doch wie komme ich darauf oder an was mache ich es fest, dass die 1 bzw 2. Ableitung positiv oder negativ sein muss und welchen y-Achseabschnitt oder Scheitelpunkt hat? |
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| 28.12.2005, 20:51 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
man könnte doch sagen dass wenn die ursprungsfunktion (3.Grades) von links unten nach rechts oben verläuft eine positive Steigung hat oder? und wenn dies zu treffen würde hätten die 1. und 2. Ableitung dann auch positive Steigungen? falls die richtig wäre könnte man auch sagen dass wenn die ursprungsfunktion negativ wäre auch die 1 und 2 Ableitung eine negative Steigung hätte? was sagst du dazu? |
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| 28.12.2005, 21:46 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, aber ich hatte keine Zeit die Diskussion komplett zu lesen. Worum es hier jedoch geht ist doch bloß graphisches Ableiten, das haben wir auch mal gemacht und es dient einfach dazu ein Gefühl und etwas Anschaulichkeit in Sachen Differentialrechnung zu bekommen. Beim googeln fand ich beispielsweise diese pdf-datei. Kannst du dir ja mal anschauen. Was wichtig ist, ist dass du ohne einen Funktionsterm qualitativ Aussagen über Ableitungen machen kannst (an markanten Punkten) |
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| 28.12.2005, 22:43 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das musst du für verschiedene Graphen von Funktionen 3. Grades, die du dir aufmalst, mal selbst ausprobieren. Es gibt übrigens auch Funktionen dritten Grades, dieerst eine positive, dann in einem Abschnitt eine negative und dann wieder eine positive Steigung haben. Die 1. Ableitung könnte dann eine Parabel sein, die nach unten, in den negativen Bereich verschoben ist. Beachte ausserdem: Wenn die Steigung einer Funktion positiv ist, heisst das erstmal, dass die 1. Ableitung positiv ist, über die Steigung der Ableitung sagt das noch nichts aus. Die Steigung der Ableitung entspricht der Krümmung der Funktion und dem Wert der 2.Ableitung. Guck dir diese Zusammenhänge noch einmal anEdit: Dazu könntest du natürlich Friedrichs Link benutzen. und zeichne dir dann verschiedene Graphen 3. Grades auf (Steigung nur positiv, Steigung positiv - negativ - positiv, verschiedene Krümmungen etc.)! |
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| 29.12.2005, 09:44 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ihr seid super! ein großes Dankeschön an Ben Sisko und Friedrich! Danke für den Hinweis mit den Steigungen und mit der pdf-Datei! bin schon ein großes Stück weitergekommen! Danke nochmal |
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| 29.12.2005, 11:27 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
könnt ihr mir auch sagen, was genau man unter b, c und d versteht bei der allgemeinen formel für Funktion 3. Grades? f(x)= ax³ +bx² +cx+d also festgestellt hab ich bereits, das a der Steigungsfaktor ist und d der y-Achsenabschnitt wo die Funktion die y-Achse schneidet doch was bedeuten b und c? wie könnte ich das am besten erklären? lg chrizzy |
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| 29.12.2005, 13:27 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
c und b sind erstmal nur die koeefizienten für das quadratische und das lineare glied. sie spielen im unendlich großen keine rolle, da x^3 "stärker" ist doch in der umgebung von 0, da x^3 auch schneller klein wird, spielen sie eine entscheidente rolle im bezug auf die lage (oder überhaupt die existens) von extrema. in dem bereich isses ganz entscheident wie die koeefizienten aussehnen, wie groß sie sind, was für ein vorzeichen sie haben und so weiter. am besten suchst du dir einen funktionsplotter (z.b. hier im board) und probierst einfach mal ein bisschen aus indem du die koeffizienten b und c veränderst während du die anderen gleich lässt. servus |
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| 30.12.2005, 13:06 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi! kann man eigentlich nur anhand einer Ableitung also 1. und 2. irgendwie auf die Ursprungsfunktion kommen, wenn man nur die Graphik hat? geht das auch wieder mit dem Gleichungssystem? dass ich mir bestimmte Punkte wie nullstelle, y-Achsenabschnitt, Extrema, Wendepunkte, Scheitelpunkte usw. raus such? ich find das geht nicht wirklich denn angenommen ich hab ne Funktion 2. Grades f(x)= x² +5 dann ist die f´(x) = 2x (also eine Gerade vom Ursprung aus) dann sieht man in der Zeichnung also nullstelle (0/0) steigung a=2 allerdings könnte sich das als nicht möglich erweisen wenn man irgendwelche dezimalstellen wie 0,01 oder so hat?! mit den infos könnte man höchstens bis x² kommen aber was ist mit der +5 ??? Habt ihr irgendwelche Ideen, wie man das berechnen könnte also allgemein für Funktionen n. Grades? Da muss es doch irgendeinen lösungsansatz geben der besser ist als mein schmählicher Versuch *g* lg chrizzy |
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| 30.12.2005, 13:09 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
auf die +5 kommst du nicht, deswegen gibt es auch nicht DIE Stammfunktion, sondern nur EINE von vielen. Und das macht (bis auf die Nullstellen) auch keine Probleme. also wenn du 2x integrierst müsstest du dann sagen, dass eine Stammfunktion x² ist oder allg. x²+c, mit c Element R. |
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| 30.12.2005, 13:22 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du musst dir allgemein eine gleichung von einem polynom zweiten grades anschauen: wir haben also drei parameter a,b,c für die wir drei infos brauchen, um sie genau zu bestimmen. wenn es zwei nullstellen und ein punkt ist, dann ist sowas natürlich sehr günstig, aber es können auch eine nullstelle und ein weiterer punkt mit dazugehöriger steigung sein. auf alle fälle müssen es drei infos sein, da es sonst unterbestimmt ist, d.h. es gibt unendlich viele funktionen die diese beiden infos erfüllen können. man bekommt also eine funktionenschar. servus |
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| 30.12.2005, 13:31 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aha! und was tun, wenn nur die 2. Ableitung also in meinem Beispiel f´´(x) = 2? dann weiß ich ja das die steigung 0 ist, dass der y-Achsenschnittpunkt 2 ist aber dann hörts schon auf! f´´(x) = 2ax+b und wenn ich das jetzt richtig verstanden hab dann kann ich ja zumindest damit schon mal a bestimmen also 0 aber was nun? |
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| 30.12.2005, 14:31 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn die 2te ableitung f''(x) =2 konstant ist, dann bedeutet das lediglich, das f überall linksgekrümmt ist, das bedeutet das die steigung von f, also f'(x), echt monoton zunehmend ist. ich versteh nicht ganz was du machen willst! erstmal wenn f''(x)=2 ist, dann kann f''(x) nicht auchnoch gleich 2ax+b sein, ausser b =2 und a = 0, aber was bringt das ?!?! bitte um eine genauere erklärung, ciao |
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| 30.12.2005, 15:25 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also bei einer ganz rationalen Funktion (das sind die einzigen, die ich bis jetzt gelernt hab) ist f´´(X) = 2 als beispiel das kann man NUR von einer Graphik ablesen ! also man muss praktisch "erraten", wie f(x) aussieht. Infos aus der Graphik sind: also ist f´´(x) eine Parallele zur x-Achse das bedeutet sie hat keine Steigung a= 0 Schnittpunkt mit y-Achse ist 2 und anhand dieser Graphik, in der nur f´´(x) eingezeichnet ist, lautet jetzt die Frage, wie oder kann ich überhaupt dadurch auf eine Ursprungsfunktion kommen also rauskommen soll jetzt im Beispiel f(x) =x² + 5 sein. |
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| 30.12.2005, 16:37 | Chrizzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi also ich verzweifele jetzt bald! neben dem obenstehenden Problem hab ich noch eins (eines von vielen *g* ) ich hab grad probiert, dass ich ein gleichungssystem aufstell mit meiner funktionsgleichung (also f(x)= x hoch 4 -x^2-1x+2, das ist das Ergebnis was rauskommen sollte umgefähr) also die allgemeine Form heißt f(x)= ax hoch 4 +bx³ +cx²+dx+e f´(x) =4ax³+3bx²+2cx+d f´´(x) = 12ax²+6bx+2c Wenn ich nun f´(1)=0 hab dann setz ich jetzt in die f´(x) =4ax³+3bx²+2cx+d den Punkt (1/0) ein also 1. Gleichung 0= 4ax³+3bx²+2cx+d Mit f(1)=1 also Punkt (1/1) mach ichs genauso und setz den auch in f´(x) =4ax³+3bx²+2cx+d ein. 2. gleichung 1=4a+3b+2c das Extremum (1/1) setz ich in f(x)= ax hoch 4 +bx³ +cx²+dx+e 3. Gleichung 1= 4a + 3b +2c +1d Wenn ich jetzt noch den Wendepunkt mit (-0,4/2,3) (ist einfacher zu berechnen) hernehm nach der Bedingung das f´´(-0,4) = 0 und f(-0,4)=2,3 entspricht dann bekomme ich 4. Gleichung f´´(-0,4)= 0 einsetzen in f´´(x) = 12ax²+6bx+2c 0 = 1,92a-2,4b und die 5. Gleichung f(-0,4) = 2,3 einsetzen in f(x)= ax hoch 4 +bx³ +cx²+dx+e 2,3= 0,0256a-0,064b+0,16c-0,4d 1. Gleichung 0= 4ax³+3bx²+2cx+d 2. 1=4a+3b+2c 3. 1= 4a + 3b +2c +1d 4. 0 = 1,92a-2,4b 5. 2,3= 0,0256a-0,064b+0,16c-0,4d Wie geh ich jetzt vor? soll ich d=0 einsetzen ? und (ich habs echt vergessen) ist es denn immer so dass ich die 1. und 3. addier und die zweite immer mal 2 nehm ?? wann erkenne ich oder woran mache ich denn fest dass ich addier, verdopple usw.? Man kann doch die Gleichungen zum Berechnen eigentlich in verschiedenster Reihenfolge aufstellen also wenn ich praktisch als erste Gleichung die 5. nehm oder ? also je nachdem was für Punkte ich zuerst berechne? |
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