Kubische Splines aus zwei Tangenten

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EdelSpammer Auf diesen Beitrag antworten »
Kubische Splines aus zwei Tangenten
Mahlzeit,

ist es möglich eine kubische Splinefunktion aus zwei bekannten Tangenten, incl. Berührungspunkt, sowie der linearen Funktion zwischen den beiden Berührungspunkten, eine kubische Splinefunktion herzuleiten?

Bitte nicht allzu abstrakt erklären, bin nur partiell vom Fach
:-)
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines aus zwei Tangenten
Geht es dir darum, durch 2 Punkte, in denen auch die Steigung gegeben sein soll, ein Polynom 3-ten Grades zu legen?

Wenn ja, soll das allgemein gelöst werden oder geht es um einen speziellen Fall? Sollen noch weitere Bedingungen gelten? (ggf. solltest du bitte die Daten posten)

Du hast 4 Daten (aus denen du 4 Gleichungen erhälst) und brauchst 4 Parameter, um das Polynom festzulegen. Im Allgemeinen kannst du die 4 Parameter aus diesen 4 Gleichungen ausrechnen.
EdelSpammer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines aus zwei Tangenten
richtig ... genau das ist mein anliegen. und genau dafür hätt ich am liebsten eine möglichst algemeine lösung.

als Daten mal meinetwegen
Tangente1 ... y = 2x -1 ... Punkt1 ... (1 / 1)
Tangente2 ... y = 0.25x +3 ... Punkt2 ... (4 / 4)

das sind eigentlich die einzigen daten die ich für mein probelm gegeben habe.
aus den Punkten kann man sich noch eine funktion herleiten ...
wäre toll wenn du mir da weiterhelfen könntest ...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines aus zwei Tangenten
Betrachte einfach folgenden Ansatz:

Sei

und fordere:






Durch Einsetzen bekommst du 4 Gleichungen, dieses Gleichungssystem musst du dann nur noch lösen.
EdelSpammer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines aus zwei Tangenten










ergibt nach Lösung des GLS



Die Tangente bei Punkt P2(4/4) trifft die Kurve schonmal sauber. Den Punkt P1(1/1) trifft der Spline zwar, aber nicht im richtigen Winkel ...
hab ich mich da irgendwie vertan?
Der Ansatz scheint ja schonmal genau in die richtige Richtung zu gehen :-)
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines aus zwei Tangenten
Zitat:
Original von EdelSpammer

Die Steigung in P1 ist 2, nicht 1. Welche Gleichung fehlerhaft sein muss, siehst du auch daran, welche Bedingung nicht erfüllt ist, nämlich gerade die der Steigung in P1.
 
 
EdelSpammer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines aus zwei Tangenten
p.s. ... stimmt ... in Gl3 musste es 2 heissen ( wer lesen kann ist klar im Vorteil :-) )

Vielen dank an euch, das hilft mir ein grosses stück weiter.

jetzt tut sich aber noch ein spezialfall auf, den ich nicht so recht formulieren kann.

also ... mit parallel zueinander verlaufenden Tangenten

so z.B. T1 ... y = 0x +1 und T2 ... y = 0x +4
mit den alten Punkten, also P1(1/1) und P2(4/4)
funktioniert das ganze auch noch tadellos
siehe unbenannt2.gif


jetzt zum Problem ... wie kann ich eine lineare Gleichung mathematisch
formulieren, die die x-achse z.B. bei x = 1 schneidet und senkrecht, also parallel
zur Y-Achse verläuft???

siehe unbenannt3.gif

... p.s. ... im linken bild müsste die gesuchte funktion T1 und nicht T2 heißen ... :-)
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines aus zwei Tangenten
Die Gleichung würde x = a bzw. hier x = 1 lauten.

Hier findest du aber kein Polynom, welches eine solche Gerade berührt; Polynome haben überall eine endliche Steigung (wenn du eine Näherung haben willst, versuche einfach y = 10.000.000*x - 10.000.000 usw.).
Eine weitere Möglichkeit wäre es mit anderen Funktionen als Basis, etwa Exponentialsplines oder Wurzelsplines(?) zu versuchen.
EdelSpammer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines aus zwei Tangenten
also komme ich mit normalen kubischen splines garnicht "um die kurve" ...
es sei denn ich würde meine punkte so um den ursprung drehen, dass das ganze wieder
mathematisch funktioniert, dann meine kurve zeichnen und dann meine kurve wieder
um den ursprng herum zurückdrehen um irgendwie auch einen geschlossenen spline
zusammenbauen zu können?

wie war das nochmal mit exponential- und wurzelsplines?
kannst du mir eine brauchbare quelle dazu empfehlen oder
hilft da erstmal nur googlen? :-)
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines aus zwei Tangenten
Die Gleichungen für andere Funktionstypen als Basis setzt du genauso an. Allerdings wählt man bestimmte Funktionen als Basis ja nur aus, weil die bestimmte Optimaleigenschaften haben (zB haben die kubischen Polynome ein "optimales Krümmungsverhalten" in einem zu definierenden Sinne).

Hier einiges über Splines: Splines

Vielleicht solltest du dir auch mal Bezier-Kurven anschauen. Hier gibt es dazu ein nettes Applet zum Anschauen: Bezier (Applet-Link ganz unten).
Big Laugh
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