Normalteiler

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Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler
Hallo,

Folgende Aufgabe:

Sei eine (multiplikative, nicht unbedingt abelsche) Gruppe. Ein Normalteiler von ist eine Untergruppe von , sodass für jedes ist.

(a) Durch wird eine Äquivalenzrelation auf G definiert. Die Äquivalenzklasse von bezeichnen wir mit , und die Menge aller Äquivalenzklassen mit . Zeigen Sie, dass durch

für

zu einer Gruppe wird.

(b) Sei . Zeigen Sie, das Gruppenhomomorphismus ist.


Lösung (a):







Lösung (b):

kommt moch

Könnte das bitte jemand schnell überprüfen.

Gruß
kiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalteiler
Zitat:
Original von Roman Föll


Warum kommutieren jetzt plötzlich b und c?

Zitat:


Naja etwas umständlich geschrieben? Sage doch dass das neutrale Element 1N ist und nicht so umständlich mit "es existiert usw.".


Zitat:

Und warum existiert das bN so dass das gilt?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Warum kommutieren jetzt plötzlich b und c?


und stellen die selbe Äqivalenzklasse dar.

Zitat:
Und warum existiert das bN so dass das gilt?


Siehe edit im ersten Post.

Gruß
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein die stellen nur dieselbe Äquivalenzklasse dar wenn G abelsch ist. Aber naja das kommutieren braucht man für das Assoziativgesetz doch gar nicht.

Inverse stimmt jetzt. Vllt. noch ein Satz das es das gibt weil die Elemente aus einer Gruppe(G) kommen.

Was mir allgemein bei dir auffällt ist das du gerne mit Quantoren um dich wirfst wo es gar nicht nötig ist das zu tun. Versuche das am besten zu vermeiden denn Quantoren tragen nicht immer zur besseren Lesbarkeit bei
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Arghh... klar... wieso mach ich das überhaupt. Danke dir vielmals. Werd das mit den Quantoren mal berücksichtigen.
Hab im ersten Post mal das editiert, was noch nicht ganz gestimmt hat.

Gruß
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Lösung (b):







Gruß
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Eigenschaft genügt zu zeigen für einen Gruppenhomomorphismus.
Die anderen beiden folgen daraus bereits
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe (c):

Zeigen Sie den ersten Isomorphiesatz für Gruppen:

Sei ein Gruppenhomomorphismus und ein Normalteiler von .
Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus , sodass , d.h. das Diagramm kommutiert.


Lösung zu (c):

Wohldefiniertheit/Eindeutigkeit:

Sei


Gruppenhomomorphismus:





Das Diagramm kommutiert.
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