Konvergenzgüte der eulerschen Zahl

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29.12.2005, 13:33	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzgüte der eulerschen Zahl hi. ich bräuchte hilfe für die Ermittlung der Konvergenzgüte der Darstellungen der eulerschen Zahl. müsste dabei also die Konvergenzgeschwindigkeiten von (1+1/n)^n und der unendlichen Summe aller 1/i! (von i=0 bis unendlich) vergleichen. nur habe ich keine Ahnung, wie ich da anfangen soll, weil ich mich in diesen Themenkomplex nicht auskenne. könnt ihr mir da vielleicht irgendwie helfen? Links, Literatur, Ansätze, Erklärungen, Herleitungen - kann ich alles brauchen danke schonmal! cu
29.12.2005, 13:52	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Geht es jetzt nur darum, welche der beiden Folgen schneller konvergiert? Geht es vielleicht noch darum, wie viel schneller die eine als die andere konvergiert? Oder willst du gar die Konvergenzgeschwindigkeit beider Folgen in ganz anderer Weise beschrieben haben? Das wären erstmal wichtige Fragen. Nachdem du die beantwortet hast, können wir ja dann mal über das Problem nachdenken. Gruß MSS
31.12.2005, 10:56	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
also mir ginge es dabei hauptsächlich um den Vergleich der Konvergenzgeschwindigkeiten der beiden Folgen. dass z.b. die unendliche Summe relativ schnell konvergiert, kann man sich zwar anschaulich klar machen, aber ich will das halt in meiner Facharbeit noch etwas genauer beschreiben und vergleichen. wäre nett wenn du mir da weiterhelfen könntest
31.12.2005, 14:38	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach am besten eine Tabelle mit Werten der beiden Folgen, mit Spalten wo die Anzahl der richtigen Dezimalstellen stehen. Und dann schau dir in Ruhe diese Webseite :Wikipedia an. "Konvergenz der Ordnung p bedeutet dann, dass in jedem Iterationsschritt die Anzahl der genauen Dezimalstellen ver-p-facht werden, also beispielsweise bei quadratischer Konvergenz verdoppelt." Guten Rutsch!
02.01.2006, 12:34	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
hi. danke erstmal. nur wie kann ich denn dieses p dann berechnen? Eine Tabelle für die Folge (1+1/n)^n wird schwierig zu analysieren sein, denn für n=50 ist noch keine, für n=100000 gerade mal 4 Nachkommastellen richtig.
02.01.2006, 13:37	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist p kleiner als 1, also konvergiert es langsamer als eine Wurzel. (Edit: oder linear mit p=1 und einen passendenFaktor c). Du kannst eine (Wurzel-) Folge finden als Vergleichsfolge, die etwas schneller konvergiert als die gegebene. Hast du schon was von Landau Symbolen gehört? Dann könntest du schreiben, dass Folge f_n Element von O(g) ist u.s.w. Frohes Neues.
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09.01.2006, 14:23	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
dir auch ein frohes neues Jahr danke für den tipp. hab mir das mal angeschaut und meine, dass das für meine Facharbeit etwas zu umfangreich wird, da ich das thema eigentlich nur kurz anschneiden soll... gibts nicht noch ne einfachere Möglichkeit, die beiden Folgen direkt zu vergleichen?
09.01.2006, 15:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die gibt es. Allerdings hat das dann nicht mehr viel mir Konvergenzgeschwindigkeit zu tun. Man kann aber sagen, dass für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N, n>1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
09.01.2006, 15:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da phi schon von Landau-Symbolen gesprochen hat: Aus der Taylorentwicklung $\begin{eqnarray} \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+O(x^3) \end{eqnarray}$ folgt unmittelbar $\begin{eqnarray} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = n\cdot \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = n\cdot\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right) = 1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray}$ . Das sagt eigentlich schon genug über die Konvergenzgeschwindigkeit.
10.01.2006, 21:20	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke das bringt mir schon etwas nur wie könnte ich das jetzt noch direkt mit der Darstellung der unendlichen Summe vergleichen? versteht ihr was ich meine? so etwas wie "die Summe konvergiert k mal schneller als der Grenzwert" würde mir reichen...
10.01.2006, 21:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal kannst du das, was ich geschrieben habe, wegen $\begin{eqnarray} e^x = 1+x+O(x^2) \end{eqnarray}$ noch direkt auf die Potenz ausdehnen: $\begin{eqnarray} a_n := \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e^{1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)} = e\cdot e^{-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)} = e\cdot\left(1-\frac{1}{2n} \right) +O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} e-a_n = \frac{e}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray}$ Für die andere Folge $\begin{eqnarray} b_n = \sum_{k=0}^n ~ \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ ist dagegen $\begin{eqnarray} e-b_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} ~ \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ , und da kannst du für $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ abschätzen $\begin{eqnarray} \frac{1}{(n+1)!} < e-b_n < \frac{1}{n\cdot n!} \end{eqnarray}$ .
16.01.2006, 01:00	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
hm hab mir das ganze bei wikipedia mal angeschaut... was kann ich mir denn unter diesem "O" genau vorstellen? und wie komm ich hier von der Potenz auf den letzten Schritt? wie erhalte ich die Abschätzung und wo liegt hierbei der Vergleich zu oben? sorry, mir ist das ganze etwas zu hoch würd mich trotzdem freuen, wenn du mir das noch erklären könntest! danke schonmal! cu
18.01.2006, 12:14	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir das keiner erklären? wäre echt wichtig hinsichtlich meiner Facharbeit, die ich nächste woche abgeben muss...
21.01.2006, 15:55	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
push
21.01.2006, 16:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß eigentlich nicht, warum ich deine Facharbeit schreiben soll. Aber ein paar Erläuterungen kann ich noch geben: 1. Wie kommt man von $\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray}$ ? Nun, einfach $\begin{eqnarray} x = -\frac{1}{2n}+O\left( \frac{1}{n^2} \right) \end{eqnarray}$ einsetzen in $\begin{eqnarray} e^x = 1+x+O(x^2) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)} &=& 1 + \left[ -\frac{1}{2n}+O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right] + O\left( \left[ -\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2} \right) \right]^2 \right)\\ &=& 1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2} \right) + O\left( \frac{1}{4n^2}-\frac{1}{n} O\left(\frac{1}{n^2} \right) + O\left( \frac{1}{n^4} \right) \right)\\ &=& 1-\frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2} \right) + O\left(\frac{1}{n^3} \right) + O\left(\frac{1}{n^4} \right)\\ &=& 1-\frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2} \right) \end{eqnarray}$ (Wenn dir das Rechnen mit Landau-Symbolen schwerfällt, musst du eben mal ein bisschen recherchieren oder auf Hilfe anderer hier warten. Ich bin da leider nicht geduldig genug.) 2. Für $\begin{eqnarray} k>n \end{eqnarray}$ kann man abschätzen $\begin{eqnarray} k! = n!\cdot (n+1)\cdot\ldots\cdot (n+[k-n]) \geq n!\cdot (n+1)^{k-n} \end{eqnarray}$ , und damit folgt dann $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^{\infty} ~ \frac{1}{k!} \leq \sum_{k=n+1}^{\infty} ~ \frac{1}{n! (n+1)^{k-n}} = \frac{1}{n!} ~ \sum_{j=1}^{\infty} ~ \frac{1}{(n+1)^j} \end{eqnarray}$ . Und rechts steht jetzt eine geometrische Reihe.
25.01.2006, 15:21	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
hi. nochmal danke für deine ausführungen!! sorry es entstand vielleicht der Eindruck, aber ich hab die 95% der Facharbeit wirklich selbst geschrieben. das mit der konvergenzgüte war ja nur ein ganz geringer teil und die landau-symbole hab ich halt einfach überhaupt nicht gecheckt. klar hab ich auch nach Literatur geschaut: und da hab ich jetzt nochmal ne Frage (hoffe du bist nicht zu genervt mir die letzte Frage zu beantworten ). was genau sagt denn dieses 1- 1/2n + O(1/n^2) dann aus? laut Definition ist ja O(x) eine Funktion, die durch x geteilt beschränkt bleibt. was kann ich mir da jetzt drunter hinsichtlich der Konvergenzgüte vorstellen? danke und schönen gruss
29.01.2006, 22:11	toasd	Auf diesen Beitrag antworten »
bräuchte wirklich nur noch diese letzte antwort
29.01.2006, 22:18	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo toasd, hättest du ein wenig recherchiert, wärst du sofort hierauf gestoßen: http://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symb...male_Definition Das müsste eigentlich deine Frage bezüglich der Konvergenzgüte beantworten. Hinweis: Approximation heißt so viel wie Näherung. Gruß, therisen

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