Unendlichdimensionaler Vektorraum

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papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlichdimensionaler Vektorraum
Hallo zusammen,
mir kam letztens die Frage in den Sinn, ob es Vektorräume gibt, die überabzählbar unendlichdimensional sind. Da die Grundmenge eines VRs beliebig mächtig sein kann, glaube ich irgendwie nicht, dass die Basen beim Abzählbaren Schluss machen. Andererseits weiß ich nicht, wie eine Linearkombination im Überabzählbaren aussehen soll, da man in dem Fall nichtmal mehr mit dem Limes argumentieren kann. Wie sähe z.B. eine Basis zu aus?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basis kann ich dir nicht sagen, aber alle stetigen Funktionen sind zum Beipiel so ein Vektorraum.
mfG 20
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@papahuhn

Das sind zwei verschiedene Paar Schuhe: Die Basis kann überabzählbar sein, eine Linearkombination ist aber immer endlich!

ist ja die Menge der auf definierten reellwertigen Funktionen. Jeder Vektorraum hat eine Basis, also auch dieser, und alle diese Basen sind gleichmächtig. Ob man eine Basis dieses Vektorraums hier konstruktiv angeben kann, weiß ich jetzt auch nicht. Jedenfalls muss sie ganz schön groß sein, viel größer als beispielsweise die Menge aller Kronecker-Funktionen



für alle , denn die lineare Hülle dieser überanzählbar vielen Funktionen umfasst ja gerade mal alle Funktionen, die nur endlich oft von Null verschieden sind.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
@papahuhn

Das sind zwei verschiedene Paar Schuhe: Die Basis kann überabzählbar sein, eine Linearkombination ist aber immer endlich!


Oh, das wusste ich nicht. Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass man alle Elemente der Basis kombinieren muss. Wenn man also davon spricht, dass eine überabzählbare Basis linear unabhängig ist, argumentiert man mit dem Kompaktheitssatz für beliebige endliche unabhängige Teilkombinationen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ papahuhn

Um von Kompaktheit zu reden, wäre der Menge erst einmal eine Topologie aufzuprägen.

Die Mächtigkeit von ist größer als die Mächtigkeit des Kontinuums. Gäbe es nun eine Basis der Mächtigkeit , so vermute (!!!) ich, daß auch die Menge der Linearkombinationen bezüglich dieser Basis die Mächtigkeit hätte. Das stößt sich aber damit, daß eine größere Mächtigkeit hat. Eine Basis von hat damit eine höhere Mächtigkeit als das Kontinuum.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
@ papahuhn

Um von Kompaktheit zu reden, wäre der Menge erst einmal eine Topologie aufzuprägen.


Ich glaube du redest von einer anderen Kompaktheit. Ich meinte den Kompaktheitssatz der formalen Logik.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

O.k. - den kenne ich nicht.
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