Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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ffo2000 Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
hallo zusammen,

ich wende mich nun an euch, da ich langsam nicht mehr weiß wohin...

folgende situation: in der vorlesung "quantitative methoden" geht es um die grundlagen für das klassische finance. es werden dinge wie simulation, optimierung, regression, usw. behandelt.

das erste kapitel jedoch stellt eine art refresher der statisik dar. und hier sehe ich mich mit diversen kleineren problemen konfrontiert.

da es sich im endeffekt um eine mündliche prüfung handelt, ist es primär wichtig, die thematik zu verstehen, und nicht aufgaben zu bearbeiten.

so treffe ich auf fragen bezüglich der diversen p-verteilungen. "was ist der unterschied zwischen normalvert. und student-vert.? in welcher beziehung stehen normal- und lognormal verteilung? usw.

ich bin daher auf der suche nach einer internetseite oder einem buch, das einfach die verschiedenen verteilungen nennt, deren eigenschaften listet und eben solche fragen beantwortet.

deshalb meine frage: kennt jemand ein buch, in welchem das behandelt wird? oder eine seite im netz? die formeln der verteilungen sind eigentlich klar, die berechnungen sind simple durchzuführen. das problem ist, dass ich die zugrundeliegenden dinge wissen muss. z.b. warum gibt es einen t-vert.? usw.

hilfe dringends erbeten. prüfung anfang ferbaur 06.
schönes neues jahr an alle!
martin
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hi...
also hier hab ich mal paar links für dich zusammen gestellt:

normalverteilung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

lognormalverteilung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Lognormalverteilung

der sinn der lognormalverteilung ist folgender:
wie du weisst ist es in der statistik immer recht gut wenn man eine normalverteilte stichprobe hat. aber es kommt oft vor das sie nicht normalverteilt ist. man kann dann probieren, in dem man den logerithmus über die werte der stichprobe zieht, daraus eine normalverteilung zu bekommen. d.h. du hast zum bsp eine stichprobe {3,4,5}die nicht normalveteilt ist. es kann aber sein das {ln3, ln4, ln5} normalverteilt ist. (das bsp ist natürlich nicht besonders gut gewählt aber vom der idee stimmts).

hier die student-verteilung
http://de.wikipedia.org/wiki/Studentverteilung

also die fragen ausführlich auf die schnelle zu beantworten ist recht schwer.wenn musst du etwas gezielter fragen. als literatur bzw. internetquellen kann ich dir www.wikipedia.de
und das buch von klar bosch "einführung in die statistik" (oder so ähnlich) empfehlen.das buch ist meiner meinung nach recht gut geschrieben, so dass man es einfach verstehen kann. vorallem mit vielen bsp und lösungen.
ein anderes sehr gutes buch ist von springer "statistik"


gruss bil
ffo2000 Auf diesen Beitrag antworten »

hey bil,

vielen dank für deine schnelle antwort. die seite wikipedia kenne ich. leider helfen mir die einträge dort nicht wirklich weiter.

ich nenne einfach mal einige der fragen, die ich habe; vielleicht kann mir ja ein user weiterhelfen.

- was sind freiheitsgrade

- Unterschied der normalverteilung zur t-verteilung (hinsichtlich der freiheitsgrade)

- warum kann man sagen: auch varianzen und covarianzen sind erwartungswerte.

- was sind die vor- und nachteile, die varianz eines portfolios als risikokenngröße zu modellieren?

- mit welcher argumentation ist die annahme vertreten, dass die stetigen renditen von aktien normalverteilt sind?

- allgemeine!!! aussage des zentralen grenzwertsatzes

- was ist die chi-squared verteilung? welchen zweck hat sie?
- was ist die f-verteilung? welchen zweck hat sie?

- wie bestimmt man die korrekten freiheitsgrade von testverteilungen?

und viele mehr.

wenn jemand die ein oder andere antwort hat, wäre ich für einen kurzen kommentar sehr dankbar.

auch literaturangaben sind herzlichst willkommen.

vielen dank schon im voraus.
martin
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ok, die fragen sind jetzt etwas präziserAugenzwinkern

Zitat:
Original von ffo2000
was sind freiheitsgrade


bei der frage kann wikipedia aber schon recht gut helfen, siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Freiheitsgrad
oder besser gesagt, mehr dazu sagen kann ich auch nicht wirklich.

bei den anderen fragen werde ich probieren morgen mal etwas zu schreiben da ich jetzt weg muss. wobei ich auf die wirtschaftsfragen auch nicht wirklich eine antwort weiss.
nach den fragen her zu urteilen ist das buch von
springer "statistik" für dich eher die richige wahl. kannst es dir ja mal ausleihen, da wird eigentlich alles behandelt.

gruss bil
ffo2000 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar. vielen dank und einen guten rutsch! :-)
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich will bil nicht dazwischen pfuschen, aber ein paar deiner Fragen kann auch ich beantworten.

Zitat:
Original von ffo2000
- warum kann man sagen: auch varianzen und covarianzen sind erwartungswerte.

Das kannst du schon an den Formeln zur Berechnung erkennen:

und


Die Varianz ist also die erwartete quadratische Abweichung einer Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert und die Kovarianz der Erwartungswert des Produkts der Abweichung von der Erwartungswerten.

Zitat:
Original von ffo2000
- was ist die chi-squared verteilung? welchen zweck hat sie?

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist die Verteilung der Summe der Quadrate von unabehängig standardnormalverteilten Zufallsvariablen:

Benötigt wird sie zum Beispiel bei der Schätzung der Varianz einer Stichprobe. Oder was ist für dich der "Zweck" einer Verteilung?
http://de.wikipedia.org/wiki/Chi-Quadrat-Verteilung

Zitat:
Original von ffo2000
- was ist die f-verteilung? welchen zweck hat sie?

Die F-Verteilung ist die Verteilung des Quotienten zweier Chi-Quadrat-Verteilungen, die sie wird z.B. bei der Varianzanalyse verwendet.
http://de.wikipedia.org/wiki/F-Verteilung

Zitat:
Original von ffo2000
- wie bestimmt man die korrekten freiheitsgrade von testverteilungen?

Du schaust, ob es sich um die Summe von m oder n SNverteilten ZV handelt, also m oder n Freiheitsgrade sind.
Ebenso bei der F-Verteilung. Du musst du Nenner und Zähler betrachten.

Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig weiterhelfen,
Anirahtak
 
 
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hi..

Zitat:
ich will bil nicht dazwischen pfuschen

das ist garkein problem, eher das gegenteil. besser hätte ich die fragen eh nicht beantworten können.

Zitat:
Original von ffo2000
- was sind die vor- und nachteile, die varianz eines portfolios als risikokenngröße zu modellieren?

dazu kann ich nichts sagen.

Zitat:

- mit welcher argumentation ist die annahme vertreten, dass die stetigen renditen von aktien normalverteilt sind?

mit renditen von aktien kenne ich mich nicht aus aber ich schätze die argumentation ist folgende: man nimmt sich daten bzw. stichproben von den aktion und prüft dann ob sie normalverteilt sind, z.b. mit dem
Kolmogorow-Smirnow-Test, siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Kolmogorow-Smirnow-Test
und die argumentation für die wahl der normalverteilung wäre dann dieser test.

Zitat:

- allgemeine!!! aussage des zentralen grenzwertsatzes


wird in wiki ansich gut beschrieben, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz

zusammenfassend:
"Allen gemeinsam ist die Aussage, dass die (normierte) Summe einer großen Zahl von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen annähernd (standard)normalverteilt ist."

d.h. sei unabhängig und identisch verteilt mit und dann gilt für

~ verteilt für


hoffe ich konnte dir helfen.
gruss bil
ffo2000 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für die nachricht.

kennst du dich auch mit simulation aus?

z.b. kann ich nicht nachvollziehen, warum die "direkte methode" normalverteilte ZV generiert. der beweis fehlt mir sozusagen...

auch habe ich probleme beim verstehen der multivariaten normalverteilungen. die cholesky-dekomposition ist mir von der umsetzung her klar, doch frage ich mich, warum das funktioniert. anders: wie kommt man auf die idee, Z mit einer untereren dreiecksmatrix zu multiplizieren? ich verstehe den ansatz nicht...

liebe grüße, m
ffo2000 Auf diesen Beitrag antworten »

morgen bil

auch dir vielen dank. die seite wikipedia scheint wirklich die lösung meiner probleme zu sein. doch irgendwei fehlt mir trotzdem häufig der gesamtzusammenhang...

vielen dank nochmals für deine antworten. ich werd mal sehen, wo mich das alles hinführt...

beste grüße
m
bil Auf diesen Beitrag antworten »

mit simulationen und ähnlichem habe ich leider selber wenig erfahrung.
wenn du glück hast, erklärt dir arthur dent in dem gebiet noch etwas...
ich muss da passen, sorry...

edit: also um den gesamtzusammenhang zu verstehen kommt es mir vor ist das wichtigste die binomial und normalverteilung. wenn man diese beiden verteilung verstanden hat, sind viele folgerungen und testverfahren nicht mehr so schwer zu verstehen.

gruss bil
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ffo2000
- was sind die vor- und nachteile, die varianz eines portfolios als risikokenngröße zu modellieren?


Wenn du keine Risikogröße hast, wäre deine Modellierung risikoneutral. Dann wäre dasselbe:

A: ein 99%-sicherer Gewinn von 1.000 €
B: ein 1%-sicherer Gewinn von 99.000 €

(Welche Möglichkeit würdest du wählen und wieviel wäre dir die Beteiligung an den Spielen A bzw. B wert? Bist du hier indifferent oder bevorzugst du einen sicheren Gewinn/das Risiko?)

Die Varianz selbst besitzt eine Minimumeigenschaft: sie ist die kleinste Summe von quadratischen Abweichungen zu einem Wert (dem Erwartungswert).

Neben der Varianz würde mir noch die mittlere, absolute Abweichung als Risikogröße einfallen. Hier werden alle Abweichungen vom Erwartungswert linear gewichtet, während die Varianz sie quadratisch gewichtet. Das führt gelegentlich zu unterschiedlichen Einschätzungen.

Jedenfalls musst du deine Risikokenngröße auch ausrechnen und ggf. optimieren können, für die Varianz gibt es da viele Rechenregeln; bei anderen Kenngrößen könnte das beliebig schwierig werden.

smile

Grüße
Abakus
ffo2000 Auf diesen Beitrag antworten »

hi abakus,

vielen dank für deinen beitrag. ich bin mir allerdings nicht sicher, ob mich das weiterbringt.

die frage selbst ist schon blöde. dass ich ein risiko brauche ist klar, bzw. dass ein portfolio ein risiko hat. die frage, warum ich die varianz benutzen sollte (oder auch nicht), muss diese (die varianz) doch mit anderen risikokenngrößen vergleichen, oder nicht?

da stellt sich mir die frage, was haben wir denn noch außer deren wurzel - was keinen unterschied macht - die semivarianz - was bei einem portfolio in finanzanlagen sinn machen würde - und weitere kenngrößen, die da aber nicht wirklich gängig sind.

stell dir vor, du stehts in einer mündlichen prüfung: "Na, Herr Abakus, warum benutzen Sie denn in der Finanzmathematik die Varianz?" Was sagst Du? "Was sind deren Vorteile und Nachteile?"

beste grüße, m
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ffo2000
z.b. kann ich nicht nachvollziehen, warum die "direkte methode" normalverteilte ZV generiert. der beweis fehlt mir sozusagen...

auch habe ich probleme beim verstehen der multivariaten normalverteilungen. die cholesky-dekomposition ist mir von der umsetzung her klar, doch frage ich mich, warum das funktioniert. anders: wie kommt man auf die idee, Z mit einer untereren dreiecksmatrix zu multiplizieren? ich verstehe den ansatz nicht...

Das Problem ist hier, dass du hier Dinge aus ihrem Zusammenhang reißt und uns hier Bruchstücke servierst und dann verlangst "Nun erklärt mir mal...". So geht das nicht! unglücklich

So kenne ich zwar einige Methoden, normalverteilte Zufallsgrößen zu simulieren (z.B. das Box-Müller-Verfahren), habe aber keine Ahnung, was du unter der "direkten methode" verstehst.

Dann zu den multivariaten Normalverteilungen: Betrachten wir einen n-dimensional normalverteilten Vektor , wobei der zugehörige Mittelwertvektor und eine positiv definite Kovarianzmatrix ist.

Eine Kernaussage ist dann, dass mit einer regulären Matrix der linear transformierte Zufallsvektor dann ebenfalls normalverteilt ist, und zwar gemäß . Ich nehme an, deine Aussagen zur Cholesky-Dekomposition beziehen sich auf irgendwelche damit zusammenhängende Betrachtungen zu diesen Kovarianzmatrizen ? Erklär dich mal näher!
ffo2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

du hast recht. Ich schreib hier wohl nicht im zusammenhang...

also: kapitel: grundlagen der simulation.

Aufbau:

1) wozu simulation = klar.

Sozusagen Thema 1

2) methode 1: lineare kongruenzmethode = klar. Ist es richtig, dass die zahlen nicht normalverteilt sein müssen??

3) methode 2: inverse transformationsmethode = klar. Auch nicht normalverteilt???

Sozusagen Thema 2

4) Simulation von Normalverteilungen (warum ist es überhaupt so interessant, dass man normalverteilte Zahlen hat???????)

a) Konvolutionsalgorithmus = unklar!!

Z = (Summe (Ri – 0.5 n)) / ((n/12)^0.5)

Behauptung: die generierte Zahl Z ist normalverteilt!! Ja warum ist das denn so? wie ist der Beweis???

b) direkte methode = komplett unklar.

Z1=(- 2 ln R1)^0.5 * sin 2 pi R2
Z2=(- 2 ln R1)^0.5 * cos 2 pi R2

R1 und R2 sind ZV, generiert z.b. durch die lineare kongruenzmethode.

Behauptung: Z1 und Z2 sind normalverteilt. Warum sollen denn diese Zahlen normalverteilt sein??????? Wie weise ich überhaupt eine Normalverteilung nach????

Sozusagen Thema 3

c) zu multivariaten Normalverteilungen

Dass das produkt einer Matrix (sagen wir im einfachen fall einer konstanten zahl) mit einem normalverteilten vektor wiederum einen normalverteilten vektor ergibt, macht sinn (glaube ich).

Das vorgehen bei der simulation von mehrdimensionalen Normelverteilungen wird uns folgendermaßen gegeben:

1) generiere standardnormalverteilte ZV (z.b. mit der direkten methode)
2) ergebnis ist ein vektor Y
3) cholesky-zerlegung: L=links-untere-dreicksmatrix. L’=die inverse dazu...

L * L’ = Varianz/Covarianz-Matrix

4) behauptung:

X = mü + LY

ist normalverteilt. Wieso denn? Weil der vektor Y ja bereits normalverteilt war, Multipliziert mit einer konstanten und addiert zu einer konstanten gibt ebenfalls eine normalverteilte zahl. Aber:
Wie komme ich auf die Idee, die links-untere-dreiecksmatrix zu benutzen. Wieso benutze ich nicht die rechts-obere-dreiecksmatrix. Wieso benutze ich überhaupt die „wurzel“ aus der Varianz/covarianz-matrix??? Kann ich nicht einfach eine willkürliche matrix nehmen? Du hast z.b. nur von einer matrix A gesprochen. Wozu also die links-untere-dreiecksmatrix??
Was hat den Cholesky überhaupt für einen sinn?


Also, um das zusammenzufassen: ich glaube, ich habe fünf fragen:

- warum generiert der konvolutionsalgorithmus normalverteilte ZV?
- Warum generiert die direkte methode normalverteilte ZV?
- wie weise ich überhaupt eine normalverteilung nach??
- Warum benutze ich bei der mehrdimensionalen normalverteilung die links-untere dreiecksmatrix (die ich aus der varianz/covarianz-matrix erhalte) und nicht irgendeine matrix?
- Und weil’s so schön ist: wie weise ich nach, dass die varianz/kovarianz-matrix pos. semidefinit ist? (formal; warum ist das eine voraussetzung?)

Sollten mir noch mehr fragen kommen, sag ich umgehend bescheid... :-)

Beste grüße an arthur dent und an jeden, der den nerv hat, obigen text überhaupt zu lesen, ein dickes merci!!!!

m
ffo2000 Auf diesen Beitrag antworten »

hey bil

vielen dank auch nochmal an dich.
ich werd mir die verteilungen nochmals in ruhe ansehen und versuchen die fragen nzu beantworten...

alles gute
ffo2000
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich langsam, worauf du hinauswillst. Lies dir mal das folgende durch, da gehe ich auf die meisten deiner Fragen ein. Zunächst mal versehe ich deine Themen mal mit passenden Namen:

Thema 1: Simulation stetiger [0,1]-gleichverteilter Zufallsgrößen - sogenannte Zufallszahlen

Thema 2: Simulation beliebiger eindimensionaler Verteilungen, aufbauend auf den Zufallszahlen von Thema 1

Thema 3: Simulation mehrdimensionaler Verteilungen, insbesondere Normalverteilungen


Zu Thema 1 und den darin behandelten Zufallszahlgeneratoren äußere ich mich zunächst nicht weiter. Du hast zwei Methoden angesprochen.


Zu Thema 2:

a) Konvolutionsalgorithmus: Der basiert auf dem ZGWS ( = Zentraler Grenzwertsatz). Meistens wird er mit n=12 Zufallszahlen angewandt.

b) "Direkte Methode" = Box-Muller-Verfahren : Die Richtigkeit dieser Methode kann man mit dem Transformationssatz für Zufallsvektoren beweisen.


Zu Thema 3: Will man eine beliebige multivariate Normalverteilung simulieren (s.o.), dann simuliert man zunächst standardnormalverteilte Zufallsgrößen , z.B. mit dem eben genannten Box-Muller-Verfahren. Dann ermittelt man eine Matrix mit der Eigenschaft , das leistet gerade die Cholesky-Zerlegung. Schließlich erfüllt dann



(siehe meinen letzten Beitrag oben zu solchen Transformationen von normalverteilten Vektoren) das verlangte.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ffo2000
stell dir vor, du stehts in einer mündlichen prüfung: "Na, Herr Abakus, warum benutzen Sie denn in der Finanzmathematik die Varianz?" Was sagst Du? "Was sind deren Vorteile und Nachteile?"


Ich würde sagen, dass die Varianz gegenüber anderen Risikomaßen gewisse optimale Eigenschaften hat. ZB. wird die durchschnittliche quadratische Abweichung bezogen auf den Erwartungswert minimal.

Auch wäre es zB möglich, andere Streuungsmaße zu erklären und dann mit der Varianz zu vergleichen (Quantile?, Differenz größter und kleinster Wert = Spannweite, mittlere absolute Abweichung usw.). Anhand einiger Beispiele könnte erklärt werden, wie gut die Streuung von diesen Kennzahlen erfasst wird.

Ansonsten ist die Varianz Parameter von (Grenz-) Verteilungen wie etwa der Normalverteilung usw. und wird daher in Rechenmodellen der Finanzmathematik verwendet. Wesentlich ist hier wegen dem Zentralen Grenzwertsatz die Stellung der Normalverteilung.

... ich denke allerdings nicht, dass dir so eine Frage in Quants gestellt wird, da wirst du eher konkrete Fälle ausrechnen müssen.

Grüße smile
Abakus
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