Flächenberechnung

31.12.2005, 17:49	roland	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenberechnung Hallo! Ich hätte da mal gerne ein Problem. Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Wie muss bei einem Zylinder der Radius r der Grundfläche und die Höhr h gewählt werden, damit bei einem gegebenen Volumen V= 1000 m3 das Material für die Herstellung des Behälters möglichst gering ist, d.h. die Oberfläche ein Minimum erreicht. Wie rechnet man denn das? Das ist doch kein Stoff für die 8. Klasse, oder? Gruß Tim
31.12.2005, 17:50	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
doch, die zielfunktion ist nämlich eine parabel, deren scheitelpunkt schon in der 8. bestimmt werden kann, wenn ich mich da nicht irre. mfG 20
01.01.2006, 02:07	Ace Piet	Auf diesen Beitrag antworten »
@20 Cent > die zielfunktion ist nämlich eine parabel,... Glaub ich nicht. > Wie rechnet man denn das? Konstruktiv: ------------ Hauptbed.: O = Umfang + 2xDeckel Nebenbed.: V = pi* h* r^2 (Grundfl. x Höhe) ergibt: O = 2pi r^2 + 2*V/r Ableiten, = 0 setzen und Kandidaten für Extrema erhalten, liefert: r= (V/pi)^(1/3). In die Nebenbed. einsetzen, liefert r=h (für die optimale Ravioli-Büchse). - Nebensächlichkeiten (Def.Bereiche, Randwerte, hinreichende Bed. für Extrema) wurden bewusst unterschlagen. > Das ist doch kein Stoff für die 8. Klasse, oder? Yup. Isses nicht. ------------------------ OT: Die Masse der sog. Extremwertaufgaben (in der Schule) benötigen Pythagoras bzw. Strahlensatz als Nebenbedingungen und führen damit seltenst auf reinrassige Parabeln oder Polynome. Dh. man benötigt Mittel der Diff.Rechnung (Kl.11-13). Das Einsetzen des r in die Nebenbedingung und umformen, sodass man eine Verhältnisaussage zu h bekommt, benötigt sattelfeste Potenzrechnung und auch die Frage warum (geometrischer Zusammenhang, hier: r=h) geht einem 8-Klässler durch...
01.01.2006, 05:07	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe meine Signatur... sorry, nicht genau hingeguckt. Wenn es eine Parabel gewesen wäre, dann hätte man es hinbekommen... Ich hab so eine Aufgabe schon gesehen und dachte, es wäre so ähnlich. Eine Sache noch: $\begin{eqnarray} r\neq h \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} h=2r \end{eqnarray}$ mfG 20
01.01.2006, 05:11	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
also falls du es schaffst, die zielfunktion (oberfläche in abhängigkeit nur einer unbekannten, z.b. der höhe des zylinders) aufzustellen, roland, dann kannst du das, da ihr noch keine differentialrechnung habt, zeichnerisch zumindest annähern vielleicht ist so etwas gemeint dann wäre folgendes rezept angebracht: 1) oberfläche mit r und h angeben 2) r und h über gegebenes volumen in zusammenhang bringen und z.b. nach r auflösen 3) r in oberflächenformel einsetzen, diese hängt nun nur noch von h ab 4) O(h) in ein koordinatenkreuz skizzieren minimale oberfläche suchen
01.01.2006, 11:05	PSM	Auf diesen Beitrag antworten »
Es funktioniert aber tatsächlich ohne Differentialrechnung, allerdings über viele, viele, ..., Umwege, sodass man dafür mehrere DIN A4- Seiten und etwa 1 1/2 Unterrichtsstunden benötigt. Das alles wird aber sicherlich nicht in einer 8. Klasse verlangt, höchstens eine zeichnerische Näherung, wie LOED vermutet; es sei denn, 5. Klasse wird 1. Klasse genannt... Gutes neues Jahr.
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01.01.2006, 12:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Lösung kennt, kann man auch rückwärts eine Lösung angeben, die von einer 8.Klasse verstanden werden kann. Ob man als Achtklässler drauf kommt, steht auf einem anderen Blatt: Wie von Ace Piet bereits angeführt, ist die Zielfunktion $\begin{eqnarray} O = O(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} \end{eqnarray}$ zu minimieren. Mit der Substitution $\begin{eqnarray} \varrho = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} V = 2\pi\varrho^3 \end{eqnarray}$ und somit die Darstellung $\begin{eqnarray} O(r) &=& 2\pi \left(r^2 + \frac{2\varrho^3}{r}\right) = 6\pi\varrho^2 + \frac{2\pi}{r} (r^3 - 3\varrho^2 r + 2\varrho^3)\\ &=& 6\pi\varrho^2 + \frac{2\pi}{r} (r-\varrho)^2(r+2\varrho) \geq 6\pi\varrho^2 \qquad\mbox{für alle}\quad r>0 \end{eqnarray}$ mit Minímumstelle bei $\begin{eqnarray} r=\varrho \end{eqnarray}$ , da dann der immer nichtnegative zweite Summand $\begin{eqnarray} \frac{2\pi}{r} (r-\varrho)^2(r+2\varrho) \end{eqnarray}$ gleich Null und damit minimal wird. P.S.: Ist natürlicher ein fauler Trick, da man eine kubische Funktion an der lokalen Minimumstelle (so sie existiert) immer so faktorisieren kann.
01.01.2006, 12:42	babelfish	Auf diesen Beitrag antworten »
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