Differentialgleichung

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BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung
moinsen.
für das laden einer spule muss ich folgende DGL lösen:
R*I0 = L*I'(t) + R*I(t)

es muss nachher rauskommen:


hat da jemand ne Idee, wie das gehen soll?

(ist ja eigentlich physik, aber das hier ist ja eher ein mathematisches problem)
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Du sucht zuerst eine Lösung für die Homogene DGL
.
Der Ansatz führt auf , . Für ist die Lösung offensichtlich (du setzt eine Konstante an). Die Summe aus beiden Teillösungen ergibt die gesamte Lösung. Mit I(0)=0 kannst du C bestimmen und hast dann deine Lösung die rauskommen soll.
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, so richtig hilft mir das bisher leider noch nicht. klar, wenn ich R*I0 = 0 setze, komme ich auf die lösung
,
aber wie es dann weiter gehen soll, ist mir schleierhaft... traurig
ich habe das gleiche problem auch auf dem physikerboard gepostet (sorry wegen forenübergreifendem crossposting, aber das ist wirklich wichtig; montag liegt abi-klausur an) und dort etwas besser erklärt. das kannst du dir ja auch mal durchlesen; kann ja sein dass wir aneinander vorbei reden.

p.s.:
das gleiche für den kondensator herleiten kann ich schon (also laden einen kondens.), aber bei der spule hapert es halt... menno.
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch einen Account für das Physikerboard, poste aber noch einmal hier, weil ich schon angefangen habe.

Du hast eine DGL der Form y' + ay = r. Die Lösung hat dann die From y = ys +yh, wobei ys eine spezielle Lösung für y'+ay = r ist und yh die Gesamtlösung der homogenen DGL y' + ay = 0 (sollte anschaulich klar sein.)

Zuerst sucht du die homogene Lösung.
.
Für so eine Form einer DGL führt ein Exponentialansatz immer zu einer Lösung. Also . Daraus ergibt sich (s.o.), .
Jetzt suchst du noch eine (es kann mehrere geben, aber eine langt) spezielle Lösung. Der geeignete Ansatz ergibt .
Die Gesamtlösung ist: . Die Konstante C kannt du aus der Anfangsbedingung, nämlich I(t=0)=0 (dann wird der Strom eingeschaltet) bestimmen: . Insgesamt dann: .
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, ok, das kapier ich... nur ist das problem, das mein physiklehrer das nicht kapieren wird, oder er wird es nicht durchgehen lassen, wenn ich das als herleitung in der abiklausur bringe Augenzwinkern . auch wohl deshalb, weil diese herleitung eher über die mathematische schiene geht, aber eher eine über die physikalische erwartet wird.
ich poste einfach mal die herleitung vom aufladen des kondensators; das wäre dann voll cool, wenn du mal schauen könntest, ob man die formel für die spule über die gleichen methoden herleiten kann:

U0 = Uc(t) + Ur (gesamtspannung gleich spng am kondens. plus spng am widerstand)

U0 - R*I(t) = Q(t)/C
U0 - R*Q'(t) = Q(t)/C |d/dt
-R*Q''(t) = Q'(t)/C
-R*I'(t) = I(t)/C
dJ/dt = -I(t)/(R*C)
1/I(t) dJ = -1/(R*C) dt |als physiker darf ich das Augenzwinkern

ln(I/I0) = -t/(R*C)
I/I0 = e^(-t/(R*C))
I(t) = I0*e^(-t/(R*C))

I(t) oben einsetzen:
U0 - R*I0*e^(-t/(R*C)) = U(t)
U(t) = U0*(1-e^(-t/(R*C)))

soweit alles klar? (ich weiss, einfach ableiten, um U0 rauszubekommen ist dreckig, aber wir haben das in derschuleso gemacht. unglücklich ).
gibt es eine ähnliche methode auch für die spule du bist doch physiker, oder?)
danköö.
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Die Differenzialgleichungen sind ja eigentlich identisch. Einmal U0=RQ'+Q/C und einmal RI0= LI' + RI.
Der "Trick" mit dem differenzieren ist nicht so gut, weil du damit u.U. neue Lösungen (und mehr Arbeit) erzeugst, die mit der ursprünglichen Gleichung nicht verträglich sind. So wird z.B. f(x) = 1 von f(x)=0 nicht gelöst, f'(x) = 0 aber schon..
Der Standard-Weg ist eigentlich der von mir beschriebene, auf jeden Fall korrekter aber auch eher kürzer.

Du könntest die Gleichung eigentlich genau so Lösen, wie du es gemacht hast, nur nach dem Ableiten einfach I'(t) durch X(t) substituieren im Prinzip ist es bei dir mit Q' das Gleiche, nur das es für I' kein so schönes äquivalent gibt.:



Substitution:

.
Für die Beiden C's hast du zwei Bediungen. Einmal die Ausgangleichung (mit =I0R) und I(t=0)=0.
Damit sollte deine gesuchte Formel rauskommen.
 
 
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

jo, danke, das hat mir auch ganz schön weitergeholfen.
die originallösung, wie ich es dann schliesslich gerechnet habe, steht hier:
http://www.physikerboard.de/ptopic,265.html
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