Funktionenreihe

01.01.2006, 13:43

glocke

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Funktionenreihe

An dieser Stelle erst einmal ein frohes Neues an alle Jünger und Meister des Nicht-Trivialen.

Seit mehreren Tagen plagt mich folgender Sachverhalt:

Ich soll zeigen, daß die Funktionenreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{1}{n(x-n)} \end{eqnarray*}$

auf jeder beschränkten Menge M aus IR \ IN normal konvergiert.

(normal im Sinne von Norm)

Als Hinweis wurde gegben, dass man $\begin{eqnarray*} (a_n):=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ zur Abschätzung heranziehen kann.

Was ich mir überlegt habe ist, daß die unendliche Reihe der Supremumsnormen der Funktionen sich für n gegen unendlich wie (a_n) verhält, also konvergiert, womit die besagte Funktionenreihe normal konvergiert.

Kann man das so stehen lassen ?

Greez
Simon

01.01.2006, 17:51

Mathespezialschüler

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Verschoben

Deine Überlegungen sind zwar gut, aber in die Tat umsetzen musst du sie schon noch. Das heißt, dass du eine entsprechende Abschätzung noch angeben musst. Man findet eine solche relativ leicht mit etwas Geschick und mit ihr kann man dann sowohl die punktweise als auch die gleichmäßige Konvergenz abhandeln.

Gruß MSS

01.01.2006, 18:03

glocke

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traurig

traurig

traurig

Ich quäle mich schon seit zwei Tagen damit...gib mir bitte mehr als "mit ein wenig Geschick...". Meine geistige Feinmotorik scheint noch nicht ganz so gut entwikelt zu sein, daß ich dieses Geschick vorweisen könnte...

Greez
Simon

01.01.2006, 18:36

Mathespezialschüler

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Nagut, auch im neuen Jahr möchte ich Gutes tun. *gg*
Für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sei

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k(x-k)} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k(x-k)} \end{eqnarray*}$

Es gelte $\begin{eqnarray*} |x|\leq L \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ (nach Voraussetzung gibt es ein solches $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ !). Dann folgt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2L \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|=\left|\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k(x-k)}-\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k(x-k)}\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k(x-k)}\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \sum_{k=n+1}^{\infty}~\left|\frac{1}{k(x-k)}\right|=\sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k\cdot |k-x|}\leq \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k\cdot (|k|-|x|)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k\cdot (k-L)}\leq \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k\cdot \frac{k}{2}}=2\cdot \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt nun für diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|_{\infty}\leq 2\cdot \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Das sollte nun helfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

01.01.2006, 18:46

glocke

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Ist L die von der oberen und unteren betragsmäsig größere Schranke ?

Greez
Simon

01.01.2006, 18:56

Mathespezialschüler

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Diese kannst du z.B. für $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ nehmen, musst du aber nicht. Es ist unwichtig, welche Schranke $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist. Das einzig Wichtige ist, dass $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ eine endliche Schranke ist.

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01.01.2006, 20:11

glocke

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Folgendes habe ich mir zurechtgelegt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^\infty ~||f_k||\leq 2\cdot\sum_{k=n+1}^\infty ~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

daraus folgt, daß

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~||f_k|| \end{eqnarray*}$ konvergiert und damit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k(x-k)} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Ist das so O.K. ?

Greez
Simon

01.01.2006, 20:18

Mathespezialschüler

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Nun, ich hatte zwar oben schon eine andere Eigenschaft angegeben, die auch zeigt, dass die Reihe gleichmäßig konvergiert, aber so ist es auch ok, wenn du noch dazu sagst, warum die rechte Seite deiner Ungleichung gegen 0 geht für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

01.01.2006, 20:32

glocke

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Das ergibt sich aus dem Cauchy-Kriterium. Aber warum ist das wichtig ?
Und was hättest Du geschrieben ?

Greez
Simon

02.01.2006, 00:14

Mathespezialschüler

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Warum das wichtig ist? Damit erkennt man, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\|g_k\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wobei

$\begin{eqnarray*} g_k(x)=\frac{1}{k(x-k)} \end{eqnarray*}$

ist, und genau das brauchst du ja für die gleichmäßige Konvergenz (die man daraus mit dem Weierstraßschen Konvergenzkriterium erhält).
Ich hätte es ganz einfach damit begründet, dass $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn man

$\begin{eqnarray*} s_n=2\cdot \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} s=2\cdot \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

setzt und dass somit

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k^2}=s-s_n\to 0 \end{eqnarray*}$

geht. Aber mit dem Cauchykriterium ist es nicht verkehrt! Freude

Freude

Gruß MSS

02.01.2006, 13:17

glocke

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Ich habe da noch ein Verständnissproblem...

Warum kann ich aus

$\begin{eqnarray*} |\sum_{k=n+1}^\infty~ \frac{1}{k(x-k)}| \leq 2\cdot \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^\infty ~||f_k|| \leq 2\cdot \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

folgern ?

Greez
Simon

02.01.2006, 13:27

Mathespezialschüler

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Du meinst

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k(x-k)}\right|\leq 2\cdot \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ ?

Das kannst du nicht. Du kannst es aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{\infty}~\left|\frac{1}{k(x-k)}\right|\leq 2\cdot \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

folgern.

Gruß MSS

02.01.2006, 13:31

glocke

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wie ?

02.01.2006, 13:40

Mathespezialschüler

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Nun, das war nicht ganz korrekt formuliert von mir. Besser ist es so: Aus

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{k(x-k)}\right|\leq \frac{2}{k^2} \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \|g_k\|_{\infty}\leq \frac{2}{k^2} \end{eqnarray*}$

und daraus durch Aufsummieren die Behauptung.

Gruß MSS

edit: Übrigens hatte ich $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ oben ganz anders definiert. Wir sollten besser

$\begin{eqnarray*} g_k(x)=\frac{1}{k(x-k)} \end{eqnarray*}$

schreiben! Ich hab das in meinen Posts nun auch verbessert.

02.01.2006, 13:49

glocke

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
$\begin{eqnarray*} \|g_k\|_{\infty}\leq \frac{2}{k^2} \end{eqnarray*}$
...

Die Schreibweise mit dem Infinity-Symbol ist mir nicht bekannt. Bedeutet das, daß es für alle k gültig ist ?

Greez
Simon

P.S. wie hast du die Betragsstriche so groß bekommen ?

02.01.2006, 14:12

Mathespezialschüler

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Nein, $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ ist einfach ein Zeichen für die Supremumsnorm. Das tiefgestellte $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ kennzeichnet diese dabei.
Wie ich die Betragsstriche so groß gemacht habe, kannst du sehen, wenn du mit der rechten Maustaste drauf klickst und dann auf Eigenschaften gehst. Du kannst aber auch einfach auf Zitatantwort klicken, dann siehst du es auch. Ich habe das mit "\left|...\right|" gemacht.

Gruß MSS

02.01.2006, 14:22

glocke

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Ich denke, daß ich das besprochene jetzt verstanden habe. Dankeschön für sämtliche Erklärungen und Deine Geduld. Respekt !

Greez
Simon

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