Reihenkonvergenz/-divergenz

02.01.2006, 21:10

20_Cent

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Reihenkonvergenz/-divergenz

Hallo zusammen!

a)
Sei $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \geq 1} \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} a_k := \left\{\begin{array}{ll} 0, \mbox{~~falls~die~Ziffer~2~in~der~Dezimaldarstellung~von~} k \mbox{~auftritt} \\[3mm] 1/k, \mbox{~~sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

b)
Sei $\begin{eqnarray*} (b_k)_{k \geq 1} \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} b_k := \left\{\begin{array}{ll} 1/k, \mbox{~~falls~die~~Dezimaldarstellung~von~} k \mbox{~auf~} 31122005 \mbox{~endet} \\[3mm] 0, \mbox{~~sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} b_k \end{eqnarray*}$ divergent ist.

Hinweis: Führen Sie ihre Konvergenz- bzw. Divergenzuntersuchungen mit Hilfe der geometrischen bzw. harmonischen Reihe durch.

Ich hab keine Ahnung, wie ich da dran gehen könnte, trotz hinweis...
die erste hat für mich nicht viel mit der geometrischen reihe zu tun.

Bei der zweiten habe ich überlegt, ob die folge eine teilfolge von 1/k ist, aber ich finde keine darstellung...
könnte das sowas wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{100000000*k+31122005} \end{eqnarray*}$

sein? (wenns das ist, bin ich ja schon fast fertig mit b))

ich bin für jeden tipp dankbar.

mfG 20

02.01.2006, 21:33

Mathespezialschüler

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Deine Darstellung ist fast richtig, aber nicht ganz. So sieht es besser aus:

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{1}{(k-1)\cdot 10^8+31122005} \end{eqnarray*}$ .

Bei a) habe ich auch (noch) keine Idee.

Gruß MSS

02.01.2006, 21:47

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)\cdot 10^8 + 31122005}=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\cdot 10^8 - 68877995} >\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\cdot 10^8} \end{eqnarray*}$

nützt mir das was?
dass es divergiert ist mir klar... kann ich da einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10^8} \end{eqnarray*}$ ausklammern?

mfG 20

02.01.2006, 21:49

Mathespezialschüler

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Ja, natürlich kannst du das ausklammern. Freude

Freude

Gruß MSS

02.01.2006, 21:50

AD

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a) führt bei Anwendung des Verdichtungskriteriums auf eine geometrische Reihe - so einfach ist das. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2006, 22:03

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k\cdot a_{2^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

brauch ich da auch eine konkrete darstellung von $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ , so wie bei b)?

reicht es vielleicht, wenn nur das 2., 12., 22., ... glied 0 ist?

selbst dann fällt mir keine konkrete darstellung ein...

mfg 20

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02.01.2006, 22:24

AD

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Naja, ich meinte eine modifizierte Form des Verdichtungskriteriums. Konkret die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=10^m}^{10^{m+1}-1} ~ a_k \leq 8\cdot 9^m\cdot a_{10^m} = 8\cdot \left( \frac{9}{10} \right)^m \end{eqnarray*}$

usw.

02.01.2006, 22:33

20_Cent

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ich verstehe nicht, was das mit der aufgabe zu tun hat...

$\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist ja nur gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ , wenn da keine 2 ist, du hast das aber einfach so eingesetzt...

mfG 20

edit: schon gut, 10^m enthält ja keine 2...
aber ich verstehe trotzdem nicht, was mir das nützt...

02.01.2006, 22:35

AD

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Wieviele (m+1)-stellige Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} 10^m\leq k< 10^{m+1} \end{eqnarray*}$ , haben keine Zwei in ihrer Dezimaldarstellung?

02.01.2006, 22:38

20_Cent

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das müssten alle möglichkeiten 9 ziffern auf m stellen zu verteilen sein.
ich weiß aber nicht, wie man das ausrechnet...

02.01.2006, 22:40

Mathespezialschüler

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Für die erste Ziffer hast du 9 Möglichkeiten, für die zweite auch, für die dritte ebenfalls usw. Was macht das insgesamt?

Gruß MSS

02.01.2006, 22:45

20_Cent

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Hammer

erst mal denken Augenzwinkern

Augenzwinkern

9^m

wozu denn dann die 8?

ich addiere $\begin{eqnarray*} 9^m \end{eqnarray*}$ zahlen, $\begin{eqnarray*} a_{10^m} \end{eqnarray*}$ ist die größte, also $\begin{eqnarray*} 9^m*a_{10^m} \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

mfg 20

02.01.2006, 22:50

Mathespezialschüler

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Es geht um (m+1)-stellige Zahlen. Für die erste Ziffer hast du nur 8 Möglichkeiten (warum?), für den Rest verbleibt $\begin{eqnarray*} 9^m \end{eqnarray*}$ . Also hast du $\begin{eqnarray*} 8\cdot 9^m \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

02.01.2006, 22:55

20_Cent

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ok, die erste darf nicht 0 sein.

mache ich dann so weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{\infty}{8\cdot \left( \frac{9}{10} \right)^m} \end{eqnarray*}$ ?

dass das konvergiert ist klar...

dann bin ich eigentlich schon fertig, oder?

mfG 20

edit:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=10^m}^{10^{m+1}-1} {a_k}\right)} \leq \sum_{m=0}^{\infty}{8\cdot \left( \frac{9}{10} \right)^m} \end{eqnarray*}$

also konvergenz mit majorantenkriterium?

edit2: $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ersetzt...

02.01.2006, 23:05

Mathespezialschüler

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Ja, genauso ist es korrekt, wenn du noch $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ersetzt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

02.01.2006, 23:06

20_Cent

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super, vielen dank!

12.01.2006, 01:37

20_Cent

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RE: Reihenkonvergenz/-divergenz

Zitat:

Original von 20_Cent
a)
Sei $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \geq 1} \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} a_k := \left\{\begin{array}{ll} 0, \mbox{~~falls~die~Ziffer~2~in~der~Dezimaldarstellung~von~} k \mbox{~auftritt} \\[3mm] 1/k, \mbox{~~sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

Ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe:

Ich möchte den Grenzwert bestimmen, gibt es da bestimmte Methoden?

Ein Kumpel hat ein Programm geschrieben und lässt jetzt rechnen, das prüft einfach bei jeder Zahl, ob irgendwo ne 2 drin vorkommt. Geht das irgendwie schneller, also gibts da ne mathematische Methode?

mfG 20

12.01.2006, 09:09

AD

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Auwei, ich glaube nicht. Oben, wo es nur um die Konvergenz ging, ergab die Abschätzung nach oben den Wert 80. Durch verfeinerte Methoden kannst du den Reihenwert sicher in immer engeren unteren und oberen Schranken numerisch einschachteln - aber exakt berechnen dürfte schwierig werden.

12.01.2006, 12:53

20_Cent

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ok, dann suchen wir weiter nach einer näherung, danke.
mfg 20

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