endlichdimensionaler Vektorraum |
| 04.01.2006, 19:06 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| endlichdimensionaler Vektorraum habe Probleme bei fogender Aufgabe: Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei F: V nach V eine K-lineare Abbildung. Zeigen sie, dass die folgenden Aussagen gleichbedeutend sind: a) F ist bijektiv b) F ist injektiv c) F ist surjektiv Ich verstehe nicht was ich hier überhaupt machen soll. und wie ich da irgendwas zeigen kann ist mir auch noch schleierhaft. muss auf jeden Fall etwas sehr allgemeines sein, denn keine Werte. Kann mir jemand vielleicht einen Tip geben was die hier von mir wollen? |
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| 04.01.2006, 19:11 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: endlichdimensionaler Vektorraum
Naja, die wollen, dass du zeigst, dass in endlich dimensionalen Räumen Surjektivität, Injektivität und Bijektivität entweder immer gleichzeitig, oder gar nicht erfüllt sind (bei lin. Operatoren). PS: Grüble, aber noch, ob die Aussage auch stimmt! 
Edit: Sind lineare Operatoren in endlich-dim. Räumen immer stetig? Edit2: Ja sind sie! Damit ist dann auch die Aussage sinnvoll! |
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| 04.01.2006, 19:24 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: endlichdimensionaler Vektorraum
Nein! Du hast etwas wesentliches übersehen: Wir haben hier einen Endomorphismus. Gruß, therisen |
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| 04.01.2006, 19:26 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja stimmt! Sorry, war nicht ganz vollständig! |
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| 04.01.2006, 19:30 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Um den Endomorphismus gleich noch mal aufzugreifen ... Víelleicht wäre es sinnvoll, die Informationen über die Umkehrfunktion (Inverse) zu verwenden. |
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| 04.01.2006, 20:30 | Marcyman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit der Dimensionsformel wirds n Zweizeiler! |
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| 05.01.2006, 01:55 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie sehen denn diese beiden Zeilen aus? 
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| 05.01.2006, 02:05 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was erwartest du? hier gibts keine komplettlösungen; siehe Stichwort: Komplettlösungen |
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| 05.01.2006, 15:38 | Marcyman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du brauchst nur die Dimensionsformel dim(V)=dim(Im(F)) + dim(Ker(F)) und was Injektivität / Surjektivität für einen Einfluss darauf haben (könnte auch in deinem Script stehen, bei uns tuts das
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| 05.01.2006, 15:53 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke Marcyman, endlich ma ne Antwort, mit der ich was anfangen kann 
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| 06.01.2006, 11:53 | Passepartout | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, wir machen gerade etwas ähnliches und deswegen habe ich mich auch mal mit der Aufgabe beschäftigt: Also, ich habe folgende Behauptung aufgestellt: (unter den gegebenen Bedingungen) Nun habe ich folgenden Ansatz, bei dem ich aber noch nicht weiter komme. Es gilt dim V = dim (Ker F) + dim (Im F) Sei F injektiv, dann folgt Ker F = {0}, also (?) dim (Ker F) = 0 und damit dim (Im F) = dim V. Dasselbe müsste ich nun auch für injektivität zeigen, aber ich weiß nicht wie... Lieben Gruß 
,Michael |
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| 06.01.2006, 12:32 | thoroh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sei F surjektiv, dann ist Im F = ? |
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| 06.01.2006, 13:14 | Passepartout | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, ich habs, naja, wenn man die Definitionen nicht kennt, ne ;-) Aber gilt das auch anders herum, also Im(V) = V => F ist surjektiv? Lieben Gruß
,Michael |
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| 06.01.2006, 16:01 | thoroh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst du Im(F)?
Wie hast du denn hier geschlossen, dass F surjektiv ist? lg thoroh |
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| 07.01.2006, 20:15 | Shurakai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@thoroh: das ist ja z.z. 1. F ist injektiv 2. F ist surjektiv 3. F ist bijektiv d.h. also: |
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| 07.01.2006, 23:53 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jetzt ist die Aufgabe doch fertig, oder nicht? denn, wenn F surjektiv und injektiv ist, dann ist es doch auch per Definition bijektiv. Oder bring ich hier etwas durcheinander? |
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| 08.01.2006, 20:12 | Shurakai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Deshalb reicht es zu zeigen dass 1 äquivalent zu 2 ist, weil 3 dann automatisch folgt. |
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| 08.01.2006, 21:42 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für deine Hilfe Schurakai! 
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