Bestimmen von Kern und Bild (Raum der Polynome 2.Grades)

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freetgy Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen von Kern und Bild (Raum der Polynome 2.Grades)
Habe ein kleinen Hänger und komme nicht weiter :)

Lineare Abbildung im Raum der Polynome)



davon soll der Kern und das Bild berechnet werden:

für den Kern habe es mit Null gleichgesetzt:

das ergibt:

a2 = 0
a1 = 0
a1+a2 = 0

Kern L = {0}

das Bild von L ist die menge aller Vektoren die welche die lineare Abbildung erfüllen:(also span,lineare Hülle)
Mein Problem weiß jetzt nicht ganz genau was ich machen soll
ich hab angefangen:





weiß auch nicht genau ob ich auf dem richtigen dampfer bin und und hänge hier so gerade^^
kann mir jm weiterhelfen hab grad nicht genau den Plan was ich machen soll.

vielen dank
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nicht ganz leicht, deine schreibweisen oben zu verstehen
hilft dir vielleicht schon der einfache hinweis, dass deine vektorräume isomorph sind zum IR^2, bzw IR^3, also dem spaltenvektorraum!?

mfg jochen
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

das was ich übers bild geschrieben habe is was ich m i rzusammen gereimt habe.

kann ja auch falsch sein darum meine frage wie ich das bild der abbildung bestimme.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hilft dir vielleicht schon der einfache hinweis, dass deine vektorräume isomorph sind zum IR^2, bzw IR^3, also dem spaltenvektorraum!?


das sollte dir helfen; z.b. x^2+x+3 entspricht (1/1/3) oder 7x^2+2x entspricht (7/1/0)

deine abbildung geht damit vom IR^2 in den IR^3 und schickt (x,y) auf.....

probiers wirklich einfach mal so, dann wird dir das alle viel bekannter vorkommen....



edit: insbesondere erinnere dich daran, dass das bild das erzeugnis eines basisbildes ist.....
nimm also entweder die standardbasis deiner polynomräume oder über die isomorphie die des IR^n
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

das weiß ich schon, aber ich komm echt nicht weiter, haenge wie gesagt.

kannst mir ein ähnliches einfaches beispiel machen?
dann versteh ichs vielleicht..

mfg
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das glaube ich kaum, dass du das gar nicht verstehst
hattet ihr denn nicht selbst schon beispiele?

den haupttipp, einfach die standardbasis der polynome (frage an dich: wie sieht die denn aus?) abzubilden und das erzeugnis er bilder zu nehmen, hast du schon bekommen.
woran scheitert das denn??
 
 
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

naja die Standardbasis wäre bei Grad 2.




ich sehe auch was du mit Isomorph meinst. (auch noch nicht gehört)

Den Begriff Erzeugnis hab ich bisher jedoch nicht gehört.

Nach dem was ich jetzt verstanden habe wäre das bild
<a2,a1,(a1+a2)>
oder
<a2,a1>
bezüglich der Standard basis?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

standardbasis vom urbildraum: 1, X
jetzt die bilder bestimmen: L(1), L(X)

erzeugnis = lineare hülle = menge aller linearkombinationen



dein bild(L)=erzeugnis(L(1),L(X))


rechne mal die bilder aus
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
standardbasis vom urbildraum: 1, X
jetzt die bilder bestimmen: L(1), L(X)

erzeugnis = lineare hülle = menge aller linearkombinationen

dein bild(L)=erzeugnis(L(1),L(X))

rechne mal die bilder aus







richtig so?

Woran erkenne ich das L surjektiv ist? (also den ganzen R annimmt?)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wieso kommen da denn da noch a1 und a2 vor??
setz doch mal deine linere abbilung richtig ein......

du hast gegeben: a1+a2*x -> ....
für 1 gilt a1=1, a2=0

und jetzt mal bitte....
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

sag jetz nicht das ist:

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

warum soll ich das nicht sagen?
das sind L(1), L(X) und span(....) ist genau das gleiche wie die lineare hülle, nur ein anderer name

stimmt also, dass ist bild(L)
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

ok dein vorletzter post hat grad den "verständnishänger" gelöst.

aber ihr hättet dann auch gleich sagen können das ich das von:


ablesen kann (siehe oben)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt schon, aber da ich keine ahnung habe, wie du da oben vorgegangen bist (vielleicht hättest du das einfach klarer machen sollen), hab ichs da nicht gesehen

tut mir leid, schreibs halt nächstes mal genauer auf
hauptsache, es ist jetzt klar
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

naja schwamm drüber
und vielen dank nochmal

wie zeige ich nun hier surjektivität? (also annahme aller werte im R)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

am einfachsten so:

es gilt: f lin abb von V nach W, dann ist dim(Bild(f))<=dim(V)
denn: dim(V) sei n, n basisbilder, die das bild erzeugen, also dim(bild)<=n, klar?

in deinem falle hast du eine abbildung von einem 2 in einen 3dim. raum

kann also der ganze raum getroffen werden?
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
am einfachsten so:

es gilt: f lin abb von V nach W, dann ist dim(Bild(f))<=dim(V)
denn: dim(V) sei n, n basisbilder, die das bild erzeugen, also dim(bild)<=n, klar?

in deinem falle hast du eine abbildung von einem 2 in einen 3dim. raum

kann also der ganze raum getroffen werden?


dim (3) <= dim(2)

müsste also falsch sein , nicht surjektiv

noch mal ein danke

mir wird grad einiges viel klarer... LOL Hammer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, anhand der dimensionen kannst du oft surjektivität, injektivität gleich ausschließen; denk drüber nach, es lohnt sich!

siehe gleich: automorphismen kann es nur zwischen vektorräumen geben, wenn die dimension gleich ist
ist irgendwie auch logisch oder?

Zitat:
mir wird grad einiges viel klarer...

perfekt Freude


Zitat:
noch mal ein danke

gern geschehen smile
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

die lineare abbildung ist aber injektiv oder?

weil der Kern nur den Nullvektor enthält
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, genau
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »




Wenn es heißt:Lösen sie das LGS:


bezieht sich das dann auf:


oder soll man einfach nur die lineare Abbildung anwenden?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Wink hallo
vermutlich soll es genau das heißen.... die formulierung wäre angebrachter: finden sie das (ein?) urbild p, indem sie ein LGS lösen, bzw. beweisen sie die nichtexistienz


das LGS bekommst du nun durch koeffizientenvergleich
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

mal zu einer anderen linearen abbildung:




L ist hier doch nicht surjetiv da das BildL nicht der ganze ist?

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

auch richtig Freude

beispiel dafür, dass
Zitat:
ja, anhand der dimensionen kannst du oft surjektivität, injektivität gleich ausschließen
nur zum ausschließen dient Augenzwinkern
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hab ich ne verkomplizierung dessen nochmal ^^




lösen die das LGS für ein Polynom q(x) :





=> LGS:

g = c
h = a
k =b

=> richtig?
=> wie schreib ich das als lösungsmenge auf?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das erledigst du doch eigentlich schon mit deiner schreibweise

du setzt an p=a+bx+cx^2 bestimmst dann allgemein A(p) und machst wieder koeffizientenvergleich und bestimmst daraus a,b,c

nun nur noch angeben: p=.... und diesmal deine bestimmten größen angeben




edit: achja, verrate uns doch noch die lösung deiner aufgabe oben, bei der du das erste mal ein urbild bestimmen sollst
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

also:







c = g
a = h
b = k

müsste doch stimmen?
verstehe jetzt aber nicht was du für p mit bestimmten lösungen meinst:
oder wie?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein, p ist falsch

es soll doch A(p)=..... gelten

also machst du einen ANSATZ für p als pol. vom grad <=2: p=a+bx+cx^2
dann bestimmst du diese unbekannten, indem du dieses allgemeine p über A abbildest.......

a,b,c kriegst du ja gerade dann aus A(p)=.....

woher komt dein ansatz sonst?
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