Reckteck in Parabelsegment - Extremwertaufgabe

11.05.2008, 18:45

colonel

Reckteck in Parabelsegment - Extremwertaufgabe

Bitte um eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Die Gerade g: y = 6 schneidet von der Parabel x² = 16y ein Segment ab. In dieses Segment ist ein Rechteck so einzuschreiben, dass zwei seiner Eckpunkte auf g liegen. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit sein Flächeninhalt möglichst groß wird?

Zuerst wird man sich einmal die 2 Schnittpunkte von g und par ausrechnen müssen. Man erhält die Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} A (-\sqrt96|6) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B (\sqrt(96)|6) \end{eqnarray*}$ . Zwei Eckpunkte des Rechtecks müssen also die y-Koordinate 6 haben. Aber wies mit der Extremwertaufgabe dann weitergeht, weiß ich nicht mehr.

Danke im Voraus,
colonel

11.05.2008, 19:08

riwe

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RE: Reckteck in Parabelsegment - Extremwertaufgabe
verwirrt

11.05.2008, 19:26

colonel

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RE: Reckteck in Parabelsegment - Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von riwe
verwirrt

Warum so verwirrt?
Grafisch kann ichs mir eh vorstellen.

11.05.2008, 21:38

mYthos

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.. weil die unteren 2 Eckpunkte viel wichtiger sind, sie sind die einzigen, die auf der Parabel liegen und letztendlich die Fläche des Rechteckes bestimmen. Mit den x-Werten der oberen zwei Punkte fängt man nichts an.

mY+

11.05.2008, 21:58

riwe

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RE: Reckteck in Parabelsegment - Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von colonel

Zitat:

Original von riwe
verwirrt

Warum so verwirrt?
Grafisch kann ichs mir eh vorstellen.

ich bin so verwirrt wie du ahnungslos.
den rest hat dir mythos schon hingeschrieben unglücklich

11.05.2008, 22:05

colonel

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Danke fürs erste.
Soll das heißen, dass mein Ansatz falsch ist? Wenn ja wäre ich um Vorschläge sehr dankbar.

11.05.2008, 22:19

mYthos

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Welcher Ansatz? Du hast ja noch gar nicht richtig angefangen. Werte doch mal die Grafik von riwe aus.

Hinweis: Stelle die Fläche des Rechteckes als Funktion von x dar; f(x) wird durch die Parabelgleichung ersetzt.

mY+

11.05.2008, 22:38

colonel

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Also A=x*y

Und aus der Hyperbelgleichung y=x²/16?

Dann A=x*(x²/16). Aber dass die zwei Eckpunkte auf g liegen ist so nicht berücksichtigt oder?

11.05.2008, 22:49

mYthos

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Nein, noch nicht. Denn wenn du die Grafik genau ansiehst, findest du, dass die Breite des Rechteckes 6 - f(x) ist. Also ist

$\begin{eqnarray*} A =2 \cdot x \cdot (6 - f(x)) \end{eqnarray*}$

mY+

11.05.2008, 23:02

colonel

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Jetzt hab ich für f(x) -> x² eingesetzt. Hoffe das stimmt.
Weitergehen sollte es dann so:

A(x) = 2x * (6 - (x²/10))
A(x) = 12x - (2x³10)
A'(x) = 12 - (6x²/10)
12 - (6x²/10) = 0
6x² = 120

x² = 20

$\begin{eqnarray*} x= \sqrt20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\sqrt20 \end{eqnarray*}$ fällt weg weil die Seite des Rechtecks nicht negativ sein kann.

Für die eine Seite also 2x = 2 * $\begin{eqnarray*} \sqrt20 \end{eqnarray*}$ , für die andere 6 - x² = 4.

Stimmt das so?

11.05.2008, 23:09

mYthos

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f(x) ist doch nicht $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ! Wie lautet die Funktionsgleichung der Parabel? f(x) ist gleichbedeutend mit y.

mY+

11.05.2008, 23:22

colonel

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Jetz hab ich mich auch noch verschrieben und kann nicht mehr editieren.

Die hoffentliche richtige Version sollte lauten:

A(x) = 2x * (6 - (x²/16))
A(x) = 12x - (2x³/16)
A'(x) = 12 - (6x²/16)
12 - (6x²/16) = 0
6x² = 192

x² = 32

$\begin{eqnarray*} x= \sqrt32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\sqrt32 \end{eqnarray*}$ fällt weg weil die Seite des Rechtecks nicht negativ sein kann.

Für die eine Seite also 2x = 2 * $\begin{eqnarray*} \sqrt32 \end{eqnarray*}$ , für die andere 6 - x² = -26 (??).

Macht das was, dass die eine Seite ein negatives Vorzeichen hat? Die Länge sollte aber sowieso immer der Betrag sein.

11.05.2008, 23:55

mYthos

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x ist schon mal richtig.
Die andere Seite:
Selbstverständlich macht das was, es würde heissen, dass die Aufgabe nicht lösbar ist.
Du hast jedoch schon wieder die 16 vergessen im Nenner, richtig ist $\begin{eqnarray*} 6 - \frac{x^2}{16} \end{eqnarray*}$ !

mY+

12.05.2008, 11:52

colonel

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Danke! War wohl gestern schon zu spät.

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