Wahrscheinlichkeit eines Durchschnitts

04.01.2006, 22:05

Trixxy

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Wahrscheinlichkeit eines Durchschnitts

Hallo also ich weiß , dass es sich um bedingte Wahrscheinlichkeit bei diesem Aufgabentyp handelt. Doch leider weiß ich nicht den Anfang der Aufgabe bzw. welche Formel ich anwenden muss.

Ein hohlzylinderförmiges Werkstück wird bzgl. seiner Länge und seines Innendurchmessers auf Maßhaltigkeit geprüft.Wir bezeichnen mit A das Ergebnis, dass die Länge maßhaltig , und mit B, das Ergebnis, dass der Innendurchmesser maßhaltig ist.
Auf statitischen Wege wurden die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse bestimmt:
P(A)=0,81; P(B)=0,75

a)Kann P( A durchschnitt B) = 0,50 sein?
b)Man gebe den größt- und kleinstmöglichen Wert von P(A durchschnitt B) an!
Wäre über Tipps oder Nennung einer Formel, die ich dafür verwenden kann dankbar...

04.01.2006, 22:12

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Die Überschrift ist verfehlt - mit bedingten Wahrscheinlichkeiten hat das hier nix zu tun.

Eigentlich brauchst du hier nur die Grundeigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0 \leq P(U) \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle Ereignisse $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(U)\leq P(V) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(U\cup V)=P(U)+P(V) \end{eqnarray*}$ für disjunkte $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$

Nützlich ist allenfalls noch die Erweiterung der dritten Regel für beliebige $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(U\cup V) = P(U)+P(V)-P(U\cap V) \end{eqnarray*}$

04.01.2006, 22:13

rain

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wenn es sich um bedingte wahrscheinlichkeit handelt weist du ja schon mal dass man irgendwas multiplizieren muss..

[Edit:]aufgrund arthurs posts,wird meiner überflüssig.. verwirrt

verwirrt

04.01.2006, 22:15

Trixxy

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Stand bei uns unter dem Aufgabenbereich Bedingte Wahrscheinlichkeit/Unabhangigkeit.

Daher habe ich die Überschrift so gewählt, trotzdem danke!!

04.01.2006, 22:18

Trixxy

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klar weiß ich das ich was multiplizieren muss...
Aber ich darf ja nicht einfach P(A)*P(B) für die Aufgabenbereiche multiplizieren.

04.01.2006, 22:56

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Ok, zu a): Setz doch mal $\begin{eqnarray*} P(A)=0.81, P(B)=0.75 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=0.50 \end{eqnarray*}$ in die stets gültige Gleichung

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

ein. Was fällt dir auf?

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05.01.2006, 11:21

Trixxy

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wenn ich das so einsetze, in die Gleichung die du unten gepostet hast, dann kommt bei mir für
P(A vereinigt B)=1,06 heraus,
und eine Wahrscheinlichkeit kann nur zwischen 0 und 1 liegen.
Also sagt mir dass das P(A durchschnitt B)= 0,50 nicht möglich ist?
Reicht das aus in a) zu schreiben?
mit rechnung natürlich!

P.S. : Wie bekommt man das Vereinigungszeichen bzw. Durchschnittszeichen hin? Im Formeleditor habe ich keines enteckt.

05.01.2006, 11:23

bil

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Zitat:

Original von Trixxy
wenn ich das so einsetze, in die Gleichung die du unten gepostet hast, dann kommt bei mir für
P(A vereinigt B)=1,06 heraus,
und eine Wahrscheinlichkeit kann nur zwischen 0 und 1 liegen.
Also sagt mir dass das P(A durchschnitt B)= 0,50 nicht möglich ist?
Reicht das aus in a) zu schreiben?
mit rechnung natürlich!

das sollte reichen.

Zitat:

P.S. : Wie bekommt man das Vereinigungszeichen bzw. Durchschnittszeichen hin? Im Formeleditor habe ich keines enteckt.

geh einfach mal bei arthurs beitrag auf zitieren. dann kannst du den code ablesen...

gruss bil

05.01.2006, 11:25

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Zitat:

Original von Trixxy
Also sagt mir dass das P(A durchschnitt B)= 0,50 nicht möglich ist?
Reicht das aus in a) zu schreiben?

Ich denke ja. Und wenn du die Rechnung nochmal genau anschaust, kannst du auch gleich Erkenntnisse für b) ableiten.

Zitat:

Original von Trixxy
P.S. : Wie bekommt man das Vereinigungszeichen bzw. Durchschnittszeichen hin? Im Formeleditor habe ich keines enteckt.

Drücke auf den "Zitat"-Button im Kopf meines Beitrags, dann siehst du die verwendeten LaTeX-Befehle. Der Formel-Editor bietet leider nicht alles per Knopfdruck, sowas musst du "von Hand" einfügen.

EDIT: Bin ich heut wieder langsam...

05.01.2006, 11:33

Trixxy

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Als Lösung für a) ist mir
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)\geq 0,56 \end{eqnarray*}$
angegeben worden? Wie sind die auf die Lösung gekommen?
Das andere ist ja nun dank Euch mir klar geworden.

05.01.2006, 11:37

bil

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Zitat:

Original von Trixxy
Als Lösung für a) ist mir
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)\geq 0,56 \end{eqnarray*}$
angegeben worden? Wie sind die auf die Lösung gekommen?

die frage hast du dir schon mehr oder weniger selbst beantwortet:

Zitat:

P(A vereinigt B)=1,06 heraus,
und eine Wahrscheinlichkeit kann nur zwischen 0 und 1 liegen.

gruss bil

05.01.2006, 11:48

Trixxy

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Ja stimmt Ich setze das einfach in die gepostete Gleichung mein 1,06 ein und die Einzelwahrscheinlichkeit von P(A) und P(B)
und löse dann nach $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$
Vielen Dank,doch dann habe ich da ein Gleichheitszeichen stehen, das ist dann ja noch nicht richtig, mit welcher Überlegung wurde dort ein >= Zeichen gesetzt?

05.01.2006, 12:05

AD

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Zitat:

Original von Trixxy
Ich setze das einfach in die gepostete Gleichung mein 1,06 ein und die Einzelwahrscheinlichkeit von P(A) und P(B)
und löse dann nach $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

??? - Nein! Für $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ setzt du nicht $\begin{eqnarray*} 1.06 \end{eqnarray*}$ ein, sondern $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ , weil das nunmal für jede Wahrscheinlichkeit gelten muss. Und dann kannst du nach $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ umformen.

05.01.2006, 16:28

Trixxy

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und wie kann ich nun aufgabenteil b) berechnen?
Einen Bestandteil habe ich ja schon nun in a berechnet, oder?

05.01.2006, 16:38

bil

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ich glaube du hast es noch nicht ganz verstanden.
das wichtigste bei dieser aufgabe ist diese gleichung:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

da wir P(A)=0.81 und P(B)=0.75 kennen, können wir sie direkt auch einsetzen:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = 0.81+0.75-P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

jetzt wissen wir zusatzlich noch das

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ nur werte zwischen 0 und 1 seien können.

das kleinste $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=0.56 \end{eqnarray*}$ haben wir ja schon bestimmt. wenn nämlich $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)<0.56 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ ein wert grösser 1. und wahrscheinlichkeiten können wie gesagt nur werte zwischen 0 und 1 annehmen.

jetzt verstanden?

gruss bil

05.01.2006, 16:49

Trixxy

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doch klar, das habe ich verstanden. da wir immer zur kontrolle die Lösungen genannt bekommen: weiß ich zwar die Lösung für b)
aber was ist schon eine Lösung ohne Rechenweg. Nichts!!!
Die Lösung für b) soll nämlich
$\begin{eqnarray*} o,56 \leq P(A\cap B)\leq 0,75 \end{eqnarray*}$
sein!
für das kleinste habe ich in a) ausgerechnet, aber ich bekomme mit der Formel nicht die 0,75 heraus!

05.01.2006, 16:54

Trixxy

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ich denke das ich es auch für >= 0 machen müsste, oder?

05.01.2006, 16:55

AD

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Steht doch oben:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} P(U)\leq P(V) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$

Und es ist sowohl $\begin{eqnarray*} (A\cap B) \subseteq A \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} (A\cap B) \subseteq B \end{eqnarray*}$ .

05.01.2006, 16:58

bil

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da muss man garnicht gross rumrechnen.
setzten wir mal den grössten wert in die gleichung ein:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = 0.81+0.75-0.75=0.81 \end{eqnarray*}$

ok damit ist die bedingung $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\epsilon ~[0,1] \end{eqnarray*}$ erfüllt.
warum gibts aber keine grösseren werte mehr?
du kannst dir da auch eine skizze machen:
zeichne eine fläche mit 0,75 flächeninhalt und eine mit 0,81 flächeninhalt. wie gross kann den maximal der durchschnitt werden? und mit dieser skizze bzw. überlegung wärst du auch ohne lösung auf die 0.75 gekommen.

bisschen konfus erklärt... aber hast du es verstanden?

gruss bil

edit: diesmal warst du schneller Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.01.2006, 17:18

Trixxy

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[quote]Original von Arthur Dent

[*] $\begin{eqnarray*} P(U)\leq P(V) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht warum du hinter deinem Minuszeichen die Wahrscheinlichkeit von B gesetzt hast.

05.01.2006, 17:24

AD

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Zitat:

Original von Trixxy
Ich verstehe nicht warum du hinter deinem Minuszeichen die Wahrscheinlichkeit von B gesetzt hast.

Und ich verstehe diese Bemerkung nicht. Welches Minuszeichen???

05.01.2006, 17:31

bil

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Zitat:

Original von Trixxy
[quote]Original von Arthur Dent

[*] $\begin{eqnarray*} P(U)\leq P(V) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht warum du hinter deinem Minuszeichen die Wahrscheinlichkeit von B gesetzt hast.

ich verstehe den beitrag nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich schätze du sprichst meinen beitrag an, oder? hinterdem minus steht 0.75 weil dies der grösste wert ist den $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ annehmen kann.
aber fangen wir nochma von vorne an.
unser ziel ist den grössten sowie den kleinsten wert von $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

der grösste wert den $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ annehmen kann ist 0.75. weil dann wäre der durschnitt von (A und B) komplett B. ist dir das klar?
ist dir auch klar das $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ nicht grösser als 0.75 sein kann?
wenn dir das klar ist,setzt du den wert einfach in unsere anfangsformel ein und siehst das es aufgeht...

gruss bil

05.01.2006, 17:37

Trixxy

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entschuldige
Arthur Dent war nicht an dich gerichtet. fehler von mir und nen dolles mißverständnis.

05.01.2006, 17:45

bil

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hast du die aufgabe jetzt verstanden? hab mir gerade mal alles durchgelesen und bin nicht ganz sicher ob das problem eventuell woanders liegt.
also mal eine andere frage, ist dir eigentlich klar wieso:

Zitat:

Original von Arthur Dent

$\begin{eqnarray*} P(U\cup V)=P(U)+P(V) \end{eqnarray*}$ für disjunkte $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$
Nützlich ist allenfalls noch die Erweiterung der dritten Regel für beliebige $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(U\cup V) = P(U)+P(V)-P(U\cap V) \end{eqnarray*}$

gilt? disjunkt bedeutet übrigens das die beiden mengen keinen durchschnitt besitzen. wie schon gesagt, am besten sieht man das an einer skizze. und sobald du die gemacht und verstanden hast sollten die aufgaben kein problem sein.

weil wenn du das nicht verstehst, wird die aufgabe viel schwerer als sie eigentlich ist.

gruss bil

05.01.2006, 17:53

bil

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hab gerade was schönes gefunden.
schau dir mal das an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinl...rie#Folgerungen
vorallem die bilder sind ganz gut.

gruss bil

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