Gleichung einer Ebene/ Schnittpkt. mit x, y, z

05.01.2006, 12:05

mr_tim_baland

Gleichung einer Ebene/ Schnittpkt. mit x, y, z

Hallo und guten Tag,

ich könne ein paar Tipps zur Lösung einer Aufgabe gebrauchen, ich hoffe es ist jemand so freundlich und hilft mir weiter.

Gegeben ist eine Ebene, die durch folgende Punkte definiert ist:

A(3/2/1);
B(0/2/1);
C(3/0/-4).

Gesucht ist die Gleichung der Ebene, sowie die Schnittpunkte mit den Achsen x, y und z.

Die Gleichung der Ebene würde ich mit der 3- Pkt.- Form aufstellen, nur wie ich dann die Schnittpunkte bekomme ist mir nicht ganz klar. Gleichsetzen bringt an dieser Stelle wohl nichts, oder?

Vielen Dank für eure Hilfe, bin gespannt auf eure Antworten!

Have a nice day,
timi

05.01.2006, 12:07

MrPSI

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Mit den Punkten A, B und C kannst du mal wie du schon geschrieben hast, die Parameterform der Ebene berechnen.
Daraus machst du dann die Ebenengleichung der Form $\begin{eqnarray*} ax+by+cz=d \end{eqnarray*}$

Und dann kannste ganz locker einsetzen.

05.01.2006, 12:22

riwe

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du kannst natürlich auch die schnittpunkte mit den achsen berechnen, imdem du die z.b für die x-achse y = 0 und z = 0 setzt, und daraus die beiden parameter bestimmst.
(das erspart dir möglicherweise schwierigkeiten bei der bestimmung des schnittpunktes mit der x-achse, aber der weg von mrpsi ist wohl einfacher)
werner

05.01.2006, 12:39

mr_tim_baland

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Vielen Dank euch beiden für die superschnelle Antwort!

Werds gleichmal ausprobieren

MfG
timi

05.01.2006, 19:30

mr_tim_baland

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Guten Abend,

sorry Leute, aber mir ist es immer noch nicht klar, wie ich auf die Schnittpunkte komme. Könnte mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank

05.01.2006, 19:35

MrPSI

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Wenn z.B. ein Schnittpunkt auf der x-Achse vorliegt (wir nenne ihn X) dann hat er folgende Koordinaten (x|0|0).
Jetzt nur noch einsetzen und ausrechnen.

05.01.2006, 19:46

riwe

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kannst du uns mal mitteilen, wie die gleichung der ebene in parameter- oder koordinatenform lautet?
werner

05.01.2006, 20:22

mr_tim_baland

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Hallo,

ich hab folgendes gemacht:

d=A+ (B- A)+ (C-A)

05.01.2006, 23:46

riwe

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was soll das denn sein?
kannst du uns das bitte erläutern!
(schreib doch die ebenengleichung in parameterform oder koordinatenform auf) oder meinst du
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\vec{OA}+r \vec{AB} +s\vec{AC} \end{eqnarray*}$
dann bitte in zahlen!
werner

06.01.2006, 21:35

mr_tim_baland

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Guten Abend,

ok, sorry, meine "3- Pkt.- Form" sollte natürlich so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \vec{r} (m,n) = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+ m( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix})+ n(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für eure Hilfe

06.01.2006, 22:15

riwe

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ja und weißt du nun, wie man daraus die achsenabschnitte berechnet?
werner

07.01.2006, 08:21

mr_tim_baland

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Guten Morgen,

tja, da sind wir bei meinem Problem angelangt, ich weiß es leider nicht.

Schönen Tag,
timi

07.01.2006, 09:30

riwe

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abgesehen von deiner eigenwilligen bezeichnung, bei der z-komponente fehlt ein MINUS.
in der üblichen notation:
E in parameterform
$\begin{eqnarray*} =\vec{x} =\begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(ich habe den faktor 3 beim 1. richtungsvektor herausgezogen, steckt nun in r, um möglichst kleine zahlen zu haben)
E in koordinatenform: 5y - 2z = 8
und am beispiel des schnittpunktes mit der y-achse: wie oben angeführt, hat dieser punkt P die koordinaten P(0/y_0/0).
daraus folgt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ y_0 \\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das ist ein lineares gls. für r und s, also haben wir 3 gleichungen und 2 unbekannte. läßt es sich widerspruchsfrei in r und s lösen, bekommst du damit y_0, hier hast du r = -3, s = - 1/5 und y_0 = 8/5. ergibt sich ein widerspruch, existiert kein schnittpunkt.
dasselbe ergebnis bekommst du mit
5y_0 - 2*0 = 8
der rest gehört dir.
werner

07.01.2006, 11:06

mr_tim_baland

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Hallo wernerrin,

vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!

Wünsch dir ein schönes Wochenende,

c u
timi

07.01.2006, 12:17

marci_

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man kann es sich doch auch so merken:
x1-Achse: (1/0/0)
x2-achse: (0/1/0)
x3-achse: (0/0/1)

und dann entsprechend gleichsetzen?!

07.01.2006, 12:44

riwe

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versuche es einmal, dann siehst du (vermutlich), dass das nicht ganz richtig ist. du hast ja schon festgelegt, wie die schnittpunkte lauten, also bleib bei P_x(x_0/0/0), P_y(0/y_0/0)...
werner

07.01.2006, 15:01

marci_

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also ich mein die koordinaten als richtungsvektoren, da der stützvektor jeweils (0/0/0) ist

08.01.2006, 00:37

riwe

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Zitat:

Original von marci_
also ich mein die koordinaten als richtungsvektoren, da der stützvektor jeweils (0/0/0) ist

????
da bin ich überfordert
werner

08.01.2006, 12:49

marci_

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wann will doch ne ebene mit der x-1,x-2,x-3 achse jeweils schneiden, und da lauten die geraden einfach:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ =r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ =r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.01.2006, 14:37

mYthos

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Hallo!

Am einfachsten ist es m.E., wenn man die Ebene in der Koordinatenform berechnet und sie dann auf die Achsenabschnittsform bringt (Division durch das absolute Glied, es ist ungleich Null, wenn die Ebene nicht durch den Nullpunkt geht).

Achsenabschnittsform:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{b} = 1 \end{eqnarray*}$

a, b, c sind die Abschnitte auf den Achsen, markieren also gleichzeitig die gesuchten Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} S_x(a|0|0), S_y(0|b|0), S_z(0|0|c) \end{eqnarray*}$

In diesem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 5y - 2z = 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{8}.y - \frac{z}{4} = 1 \end{eqnarray*}$

Die Ebene ist parallel zur x-Achse, daher gibt es mit der x-Achse keinen Schnittpunkt.

$\begin{eqnarray*} S_y(0|\frac{8}{5}|0), S_z(0|0|-4) \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

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