Berechnung vom Volumen einer Ellipse bei rotation

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rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung vom Volumen einer Ellipse bei rotation
Hallo!

Ich habe hier eine aufgabe vor mir:



Mit dieser ellipsenformel soll ich das volumen bei einer rotation um die x-achse berechnen.

Hat jemand einen tip dazu?

Bitte nicht die ganze Lösung posten smile

(hab auch schon bei matroid geschaut ... -> verwirrt
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Forme nach um und lasse dabei einen Ast weg, dann kannst ud die Formeln für das Volumen eines Rotationskörpers verwenden.
rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...einen ast weglassen? also a oder b?

ich hab jetzt (hoffentlich) nach y umgestellt:

kann ich jetzt damit was anfangen?

das ist wohl die formel fürs volumen



nur hab ich ja keine obere/untere grenze gegeben
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Ellipse hat eigentlich keinen Ast (den hat nur eine Hyperbel), eine "Hälfte" wäre besser, gemeint ist hier die rechte Hälfte (von 0 bis a), wegen der Rotation um die x-Achse. Da in der Volumsformel nur vorkommt, wäre es auch besser, gleich direkt nach umzustellen (und von 0 bis a zu integrieren)...

Rudi: Die Umstellung ist falsch! Auch die Volumsformel! Bedenke doch: Rot. um die x-Achse!!


Gr
mYthos
Benutzername1 Auf diesen Beitrag antworten »

und ich dachte der negative Teil ist gemeint

(Probiers lieber mit )
rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

also stelle ich nach um da ich um die x-rotieren will:



und setzt in die volumenformel ein:



(weil ich nach x ableite bleibt alles andere so wie vorher, richtig?)

btw: danke für die hilfe smile
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst bei der Volumsformel nicht ableiten, sondern musst die Originalfunktion (bzw. deren Quadrat) integrieren!!
rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, hoffnungsloser fall...aber ich probiers nochmal:

also integriere ich

und setzte in die formel ein:



da fällt ja dann das dx weg? (obwohl ich eher dachte bei dx wird differenziert und nicht integriert?)

wenns jetzt nicht stimmt dann bitte die lösung unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bedenke, dass du NACH x integrierst (und nicht nach b oder a), b und a sind also konstant. dx ist das Differential, das hängt zwar auch mit dem Differenzieren zusammen, besagt hier aber nur, dass x die Integrationsvariable ist.

Am besten rechnest du



und das nun nach x integrieren (in den Grenzen 0 bis a), versuch das mal.
Das Ergebnis mal ist das halbe Volumen.

Nach dem Integrieren gibt's kein dx mehr, weil dabei die (sehr kleinen) dx auf das Integrationsintervall aufsummiert wurden.
rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also sieht mein integral dann so aus



mit der neuen y^2 funktion bin ich nicht zurecht gekommen...

b^2 kann man ja, da sie konstant ist vor das integral schreiben

dann muss ich



bilden richtig?

und da die untere grenze null ist fällt F(0) weg! (?)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann nur konstante Faktoren vor das Integral setzen!
Eine additive Konstante hingegen ist selbstverständlich zu integrieren!

Beispiel:



Aus diesem Grund - und auch, weil dein V wiederum nicht stimmt - solltest du die Funktion, wie beschrieben, so umformen, dass eine multiplikative Konstante vor das Integral geschrieben werden kann. Auch bestimmt den ganzen Ausdruck und nicht nur den ersten Summanden!

Aber es MUSS eigentlich nicht sein, nehmen wir mal deinen Ansatz, der im 2. Teil wenigstens richtig integriert wurde, allerdings darfst du NACH dem Integrieren das Integralzeichen nicht mehr schreiben Augenzwinkern







Kannst du die Rechnung nun allein zu Ende führen?

Gr
mYthos
rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

ja natürlich! hatte einfach übersehen dass es nur das halbe volumen ist...
das viele mathe, naja nenn ich es mal lernen, macht mich ganz wirr Hammer

ich probiers

stelle ich also wegen F(a) nach a um...

hmm, meine lösung sieht irgendwie etwas arg gekürzt aus:

in die formel
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Rudi,

du brauchst doch nix mehr umstellen!
Sondern im bereits fertig berechneten Integral einfach das a statt dem x einsetzen, dann die 0, die so berechneten Werte subtrahieren und schon hat man den Wert des bestimmten Integrals!

Allg. ist:

!!

--------------

Zur Aufgabe:



Im Endergebnis hat kein x mehr was zu suchen, sondern nur Konstanten.

So, jetzt den Bruch durch kürzen, zusammenfassen, ...

Aber jetzt packst das!

Augenzwinkern

mY
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

oje, dass ich a in x einsetzen muss, da wäre ich nie drauf gekommen,
ich hab zwar formelsammlungen, aber das ist für mich wie japanisch

also F(b) :

endergebnis also !!! smile

hmm, jetzt hab ichs in der formelsammlung gefunden
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bingo!!
Was lange währt, wird endlich gut!

Schön' Abend noch!

mY
rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

danke dass du dir die zeit genommen und mir geholfen hast! Prost
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gern! Dazu sind wir ja hier.

Gr
mY
rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

hab es nochmal als übung für die drehung um die y-achse durchgerechnet

ziemlich ähnlich

Zusammengefasst:

- nach auflösen für die Volumenformel

- in die Volumenformel einsetzen und integrieren

- die obere grenze für einsetzen

perfekt!

Freude

( eingefügt)
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Vorgehen führt aber nur zu einem richtigen Ergebnis (dass ein fehlt, nehme ich als Tippfehler), weil die Ellipse in 1. Hauptlage ist. Was du nämlich eigentlich gemacht hast, ist und zu vertauschen und dann um die x-Achse zu drehen. Im Allgemeinen musst du für eine Drehung um die y-Achse eine andere Formel verwenden, nämlich

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
...
Im Allgemeinen musst du für eine Drehung um die y-Achse eine andere Formel verwenden, nämlich



Da sich die Grenzen bei der Angabe dann auf der y-Achse befinden und um diese direkt einsetzen zu können, formt man noch um zu:



rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo! war gestern zu müde um noch mehr zu machen als das pi einzufügen

hab jetzt ein neues ergebnis für drehung um y-achse



stimmts diesmal?

grüße
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ebensowenig wie bei der vorigen Aufgabe ein x im Ergebnis bleiben darf, hat hier (am Ende) das y nichts verloren. Die y-Werte sind - wie auch die x-Werte - durch die Grenzen zu ersetzen.

Bitte gehe nochmals den ganzen Thread Schritt für Schritt durch, dann sollten dir wenigstens einige Glühlampen aufgehen Augenzwinkern

Die Volumina der beiden Ellipsoide:

1. Drehung um die x-Achse (eiförmiges Ellipsoid):



2. Drehung um die y-Achse (laibförmiges oder abgeflachtes Ellipsoid):



Gr
mYthos
rudi23 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich hab in meiner rechnung nochmal geschaut. da hatte sich doch glatt ein vorzeichen fehler eingeschlichen!geschockt

Zitat:
Original von sqrt(2)
Dein Vorgehen führt aber nur zu einem richtigen Ergebnis weil die Ellipse in 1. Hauptlage ist.


was meint er damit?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute ein Missverständnis. Was ich meinte, ist, dass eine Drehung der blauen Ellipse um die y-Achse das gleiche wie eine Drehung der roten um die x-Achse ist.
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