Knifflige Integrale

05.01.2006, 17:49

Verzweifelter

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Knifflige Integrale

Huhu!

Ich hab hier 3 Integrale, bei denen ich kein Land sehe:

1. $\begin{eqnarray*} \int~\frac {x^2} {\sqrt{1-x^2}}~dx \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \int~\frac {x^2} {\sqrt{x^2 -1}}~dx \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \int~\frac{ln^2 x} {x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Wär echt nett, wenn mir jemand helfen könnte! Danke schon mal!

05.01.2006, 18:10

20_Cent

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probiers bei der 3 mal mit partieller Integration, ln^2(x) ableiten.
Ich denke damit müsste es klappen (Eventuell doppelt partiell integrieren)
mfG 20

05.01.2006, 18:18

Frooke

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Bei der ersten hilft partielle Integration und Substitution! Denke an
$\begin{eqnarray*} \sin^2x=1-\cos^2x \end{eqnarray*}$

EDIT: Ach sorry: Beim zweiten tuts die partielle Integration Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.01.2006, 18:20

lego

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bei den ersten beiden könntest du evtl ebenfalls partielle integration hernehmen und die funktion in

$\begin{eqnarray*} x*\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

aufteilen, das hintere lässt sich recht gut integrieren, weiß nur noch nicht, wie man das dann entstehende integral von

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$
löst

05.01.2006, 18:25

Lazarus

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ja bei den ersten beiden würd ich substituieren:

bei der ersten:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\sin{u}} \end{eqnarray*}$
und bei der zweiten
$\begin{eqnarray*} x=\sin{u} \end{eqnarray*}$

hätte ich gemacht..

05.01.2006, 18:48

Verzweifelter

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@20_cent:
den ansatz hatte ich auch, da meine Lösung dann aber nicht mit der von Derive übereinstimmt, bin ich stutzig geworden... aber gut, scheint in meinem Rechenweg keine Fehler zu geben.

@Frooke:
Weiß leider nicht, wo du dir dort nen sin² bauen willst. Ich krieg immer nur arcsin hin und dafür kenn ich nicht so einen Satz. Oder steh ich da auf'm Schlauch?

@Lego:
Bis zu dem Wurzelterm bin ich auch schon gekommen, dann krieg ich mit part. Int. (1 integrieren, Wurzel ableiten) das ursprüngliche $\begin{eqnarray*} \int~ \frac{x^2} {\sqrt{1-x^2}}~dx \end{eqnarray*}$ wieder hin, so dass ich dachte, dass ich das einfach rüberziehe und fertig. war aber nix: 0=0 ...

@Lazarus:
Wie geht das? Ich kenne Subst nur so, dass eine Variable u (ohne Konstanten oder sinus oder ähnliches) einen Term ersetzt, der die Integrationsvariable x enthält: u=1-x^2 oder sowas...

Aber schon mal Danke!

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05.01.2006, 18:51

JochenX

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Zitat:

Original von Verzweifelter
@Lazarus:
Wie geht das? Ich kenne Subst nur so, dass eine Variable u (ohne Konstanten oder sinus oder ähnliches) einen Term ersetzt, der die Integrationsvariable x enthält: u=1-x^2 oder sowas...

dann eben u=arcsin(x)

ist doch egal, was du da ersetzt, vorgehen ist genau so:
ersetze alle x mit sin(u) und wie gehabt das dx irgendwie durch du und dann schau mal, was da schönes passiert, wenn du die oben ageführte trigonometrische 1 nutzt....

05.01.2006, 19:29

riwe

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1 und 2 würde ich 1 mal partiell integrieren mit der von lego vorgeschlagenen aufteilung, bei 2 dann x = cosh(x) und bei 3 x = sin(x) substituieren
das führt z.b. bei 2 auf das integral $\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~cos^{2}(u)~du \end{eqnarray*}$ , das sich durch 2 malige partielle integration lösen läßt.
bei 3 führt wie von 20Cent vorgeschlagen 2 malige partielle integration zum ziel
werner

05.01.2006, 22:01

Halb-Verzweifelter

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Danke für die Ansätze! Aufgaben 1 und 3 hab ich mittlerweile.

Allerdings klappt das ganze irgendwie nicht mit 2. Da dort x^2-1 in der Wurzel steht, find ich das Integral nicht (wenn ich nach Lego-Art part. integriere). Und auch sonst scheint keiner eurer Tipps bei 2. aufzugehen. Oder hab ich was übersehen bzw. falsch gemacht?

Hat vielleicht noch jemand einen anderen Tipp für 2.? Oder kommt ihr so auf die Lösung?

05.01.2006, 22:22

mercany

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Teile so auf wie lego gesagt hat und mache PI.

Wenn du das hast, zeig mal was du da bis jetzt stehen hast!

Gruß, mercany

05.01.2006, 22:42

Verzweifelter

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Also:

$\begin{eqnarray*} \int~x*\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}~dx=x\sqrt{x^2-1}-\int~\sqrt{x^2-1}~dx \end{eqnarray*}$

Und da krieg ich Probleme...

05.01.2006, 23:01

20_Cent

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bei dem letzten term würde ich eine günstige eins ergänzen, also 1*... ins integral. Dann Partielle Integration und die 1 Integrieren.
mfG 20

05.01.2006, 23:09

Verzweifelter

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Dann komm ich aber auf 0=0:

$\begin{eqnarray*} -\int~\sqrt{x^2-1}~dx=-x\sqrt{x^2-1}+\int~\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}~dx \end{eqnarray*}$

Wenn du das dann oben einsetzt, kommt 0=0 raus...
Ich weiß nicht weiter...

05.01.2006, 23:12

20_Cent

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oh, sorry, so gehts nicht...
hab mich vertan..
mfG 20

05.01.2006, 23:33

riwe

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ich würde es halt nun (nach der 1. partiellen integration) doch mit der substitution x = cosh(u) versuchen.
$\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~sinh^{2}(u)~du \Rightarrow I=\frac{1}{2}(cosh(u)\cdot sinh(u)+u) \end{eqnarray*}$
werner

05.01.2006, 23:41

Verzweifelter

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1. Warum machst du immer ein h an sin und cos? Nur ein Gag oder hat das irgendwas zu bedeuten?

2. Wenn ich x=cos(u) ersetze, kommt das raus:
$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{x^2-1}~dx=\int~\sqrt{cos^2(u)-1}*(-sin(u))~du \end{eqnarray*}$

Bringt mir nix... oder?

05.01.2006, 23:46

derkoch

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cosh(x) = cosinus hyperbolicus

05.01.2006, 23:53

Verzweifelter

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Aja, das Integral ist eine Hausaufgabe für LK Mathe 13. Klasse und ich hab bisher noch nie was von einem cosinus hyperbolicus gehört. Deswegen glaub ich, dass eine Lösung auch irgendwie anders zu erreichen ist.

Aber so langsam glaub ich, dass ich's aufgeben sollte...

06.01.2006, 00:04

Leopold

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Substituiere

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) \end{eqnarray*}$

Beachte, daß die Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{t^2} \right) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} t>1 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ ist, so daß das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ eineindeutig auf das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ abgebildet wird. Die Substitution ist also zulässig. Es gilt

$\begin{eqnarray*} x^2 - 1 = \frac{1}{4} \left( t + \frac{1}{t} \right)^2 - 1 = \frac{1}{4} \left( t - \frac{1}{t} \right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t} \right) \end{eqnarray*}$

Und mit dieser Hilfe solltest du jetzt allein zurecht kommen.

06.01.2006, 10:56

riwe

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eine frage zu dieser substitution: ist das sozusagen der cosh(t) durch das "hintertürchen"?
danke
werner

02.04.2006, 12:01

mercany

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Zitat:

Original von wernerrin
eine frage zu dieser substitution: ist das sozusagen der cosh(t) durch das "hintertürchen"?
danke
werner

Ich hole den Thread mal wieder zum Vorschein, da mich die Frage von Werner auch noch interessiert. Scheint ja doch so zu sein, dass die Substitution im Schulbereich als Alternative zum Cosinus Hyperbolicus sehr geeignet ist und doch des öfteren gebraucht wird.

Gruß, mercany

02.04.2006, 12:05

Frooke

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...ausserdem kann ein Schüler auch auf den sinh oder cosh kommen, ohne die entsprechenden Namen zu kennen. Ist also eigentlich kein Problem.

@Werner: Ich denke die Antwort lautet ja smile

smile

.

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