punktmäßige / gleichmäßige Konvergenz

05.01.2006, 19:21

Fina

punktmäßige / gleichmäßige Konvergenz

Hallo,

ich habe eine Frage: In unserer Vorlesung sind die Begriffe "gleichmäßig" bzw. "punktmäßig" konvergieren gefallen.

Leider kann ich auch aus meinen Büchern heraus nicht verstehen, worin die Merkmale liegen.

Über eine kleine Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Vielen Dank!

05.01.2006, 19:33

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naja,was willst du konkret wissen? Worin der Unterschied liegt oder wie man sich diese Begriffe anschaulich vorzustellen hat?

05.01.2006, 19:36

Fina

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Eigentlich sowohl als auch. Ich habe habe hier Formeln aufgeschrieben und auch eine relativ ungenaue Zeichnung aus der Vorlesung mitgenommen,

aber worin sich die beiden nun unterscheiden, hab ich nicht herausbekommen.

05.01.2006, 19:44

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Achte auf die Formulierungen bei der Definition.Ziel ist es immer ein n zu finden,sodass.....

Der Unterschied liegt nun darin,dass dieses n einmal von epsilon UND x abhängt und andererseites (gleichmäßig),dass n alle x bedient, d.h es ist unabhängig von x

05.01.2006, 19:50

Fina

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UUps, ich glaube, jetzt bin ich noch verwirrter.

Wir haben zu punktweise aufgeschrieben, dass für jedes x fn(x) gegen f(x) geht.
Und bei gleichmäßig, dass es nur vom Epsilon abhängt....

Aber so oder so finde ich es noch nicht anschaulich..

05.01.2006, 21:53

Mathespezialschüler

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Verschoben

Nimm die eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und zeichne sie in ein Koordinatensystem. Verschiebe sie nun bei vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ einfach einmal um $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ nach oben und einmal nach unten. Dann erhältst du einen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Schlauch um die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ein Funktionenfolge.
Dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert, bedeutet, dass zu jedem festen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die Folge $\begin{eqnarray*} f_n(x_0) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ geht. D.h., dass ab irgendeinem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , das von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ abhängt (bzw. abhängen kann), alle Folgenglieder in dem Schlauch liegen. Dabei kann es zu jedem $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ auch ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht im Schlauch liegt. Das interessiert aber für $\begin{eqnarray*} f_n(x_0) \end{eqnarray*}$ nicht.
Dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert, bedeutet, dass zu dem vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ab irgendeinem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , das von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , aber nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, alle Folgenglieder für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in dem Schlauch liegen. D.h. also, dass für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ die gesamte Funktion $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ im Schlauch liegt. Das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ muss also für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dasselbe sein!
Der Unterschied ist also:
pktw. Konvergenz: $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ kann sowohl von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ als auch von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen!
glm. Konvergenz: $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ hängt nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab, kann aber von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängen.
Den Unterschied sieht man auch sehr schön, wenn man sich das Ganze mal quantifiziert anguckt. Das Wichtige ist dabei, wo das $\begin{eqnarray*} \forall\ x \end{eqnarray*}$ steht. Einmal steht es vor dem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ (pktw. Konvergenz) und einmal dahinter (glm. Konvergenz). Die (möglichen) Abhängigkeiten sind in Klammern beim $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ angegeben.
pktw.:

$\begin{eqnarray*} \forall\ x\ \forall\ \varepsilon\ \exists\ n_0(\varepsilon,x)\ \forall\ n>n_0(\varepsilon,x)\ :\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

glm.:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon\ \exists\ n_0(\varepsilon)\ \forall\ n>n_0(\varepsilon)\ \forall\ x\ :\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.01.2006, 21:57

mercany

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@Max
Das mit dem Schlau verstehe ich nicht so richtig. Könntest du das irgendwie nochmal genauer erklären, bzw. ne Skizze würde wohl auch schon reichen...

Danke, Jan

05.01.2006, 22:53

Mathespezialschüler

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Jo, Skizze ist im Anhang.

Gruß MSS

06.01.2006, 00:55

mercany

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Jo, Skizze ist im Anhang.

Gruß MSS

Herzlichen Dank!

Ich hatte mir das ein wenig anders vorgestellt. Big Laugh