Polstellen und Asymptoten - Wo liegt der Unterschied ?

06.01.2006, 06:05

rwm

Polstellen und Asymptoten - Wo liegt der Unterschied ?

Hallo,

ich würde gerne wissen wo der Unterschied zwischen einer Polstelle und Asymptote liegt. Wie man sie errechnet, weiss ich mittlerweile. Nur wo liegen die genauen Unterschiede. Ich hab ausserdem gehört das ein Graph eine Asymptote durchaus schneiden kann, sich aber danach direkt anschmiegt. Bei der Polstelle geht sowas nicht. Zumindest hab ich davon noch nie gehört.

06.01.2006, 07:43

vrenili

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RE: Polstellen und Asymptoten - Wo liegt der Unterschied ?
Hallo RWM,

unter einer Polstelle einer gebrochen rationalen Funktion versteht man eine Nullstellen des Nenners, die nicht zugleich eine Nullstelle des Zählers ist (sprich: die man nicht "wegkürzen" kann). Ein Beispiel dazu findest Du weiter unten. Pole sind manchmal auch beschrieben als "senkrechte Asymptoten" (z.B. x=5) und können tatsächlich nicht geschnitten werden, da die Funktion für diese Stelle gar nicht definiert ist (sonst wäre der Nenner ja Null).

Eine Asymptote im eigentlichen Sinne ("waagrechte" Asymptote) ist eine Funktion an die sich, wie du ganz richtig bemerkt hast, die gegebene Funktion anschmiegt. Bei gebrochen rationalen Funktionen unterscheidet man von vornherein 3 Fälle:
Sei
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0} \end{eqnarray*}$
(damit ist Zählergrad=n, Nennergrad=m)

1) n<m:
Asymptote ist y=0 (0 die x-Achse)

2) n = m +1:
schiefe Asymptote durch Polynomdivision

2a) für n>m allgemein kann die Asymptote auch eine Funktion statt ner Geraden sein)

3) n = m :
Asymptote ist $\begin{eqnarray*} y=a_n/b_m \end{eqnarray*}$ (parallel zur x-Achse)

Hier mal ein paar Beispiele:

1) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ (rot)

Dabei ist 0 eine Nullstelle des Nenners und somit ist die Funktion f(x) in 0 nicht definiert. Da 0 im weiteren keine Nullstelle des Zählers ist kann ich sie nicht kürzen und damit hat die Funktion einen Pol bei x=0.
Ausserdem gilt:
0=Zählergrad<Nennergrad=1, damit Asymptote bei y=0 (grün)

2) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-1}{x^2-1} \end{eqnarray*}$ (rot)

Hier gilt durch Umformen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} \end{eqnarray*}$

Wie man erkennt sind 1 und -1 die Nullstellen des Nenners, aber 1 ist auch Nullstelle des Zählers und ich kann (x-1) wegkürzen. Damit habe ich einen Pol nur bei x=-1 und eine behebbare Lücke bei x=1.
Ausserdem gilt:
1=Zählergrad<Nennergrad=2, damit Asymptote bei y=0 (grün)

3) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} \end{eqnarray*}$ (rot)

Hier gilt durch Umformen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Wie man erkennt ist 1 eine doppelte Nullstelle des Nenners (kommt im Nenner zweimal vor), aber auch einfache Nullstelle des Zählers und ich kann (x-1) einmal wegkürzen. Damit bleibt es aber einmal im Nenner stehen und ich habe einen Pol bei bei x=1.
Ausserdem gilt:
2=Zählergrad=Nennergrad=2, damit Asymptote bei $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray*}$ :

4) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+x^2-x-1}{x^2-2x+1} \end{eqnarray*}$ (rot)

Hier gilt durch Umformen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x+1)^2(x-1)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x+1)(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Wie man erkennt ist 1 eine doppelte Nullstelle des Nenners (kommt im Nenner zweimal vor), aber nur einfache Nullstelle des Zählers und ich kann (x-1) einmal wegkürzen. Damit bleibt bei x=1 ein Pol.
Ausserdem gilt:
3=Zählergrad=Nennergrad=2, damit Asymptote durch Polynomdivision: $\begin{eqnarray*} (x^3+x^2-x-1): (x^2-2x+1)=x+3+\frac{4x-4}{x^2-2x+1} \end{eqnarray*}$
Also ist hier die Asymtote y=x+3 (grün)

Ich hoffe, es wurde ein wenig klarer?

LG
Verena

12.01.2006, 16:13

rwm

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Danke. Es ist zwar immer noch immer etwas verwirrend, aber nicht mehr so wie vorher. Ich kann mich leider schlecht in mathematische Sachen hineinversetzen.

Ich glaube das hat mich am meisten verwirrt. Daraus werde ich ehrlich gesagt nicht schlau traurig

11.09.2013, 22:23

rdt

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RE: Polstellen und Asymptoten - Wo liegt der Unterschied ?
Hallo Verena,

vielen Dank für die wunderbare Erklärung!

Viele Grüße
Mimi

11.09.2013, 22:36

Helferlein

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RE: Polstellen und Asymptoten - Wo liegt der Unterschied ?

Zitat:

Original von vrenili
unter einer Polstelle einer gebrochen rationalen Funktion versteht man eine Nullstellen des Nenners, die nicht zugleich eine Nullstelle des Zählers ist

Das ist leider nicht ganz richtig. Eine Polstelle kann durchaus auch Nullstelle der Zähler- und Nennerfunktion sein. Entscheidend ist, dass die Aussage nach vollständiger Kürzung des Terms zutreffen muss.

Beispielsweise hat $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-1}{x(x-1)^2} \end{eqnarray*}$ bei x=1 eine Polstelle, obwohl Zähler und Nennerfunktion an dieser Stelle den Wert 0 annehmen.

29.03.2015, 13:40

ciciii

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RE: Polstellen und Asymptoten - Wo liegt der Unterschied ?
Danke, super erklärt! smile

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