stetige Zufallsgrößen, normalverteilt

06.01.2006, 16:52

Jazz

stetige Zufallsgrößen, normalverteilt

Ich muss hier eine Aufgabe für nächste Woche bearbeiten. Die lautet:

Die Länge X eines Einzelteils sei eine normalverteilte Zufallsgröße
mit EX=20 cm und die Varianz=0,2 cm (weiß nicht wie das Zeichen funktioniert)
(a) Es ist die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass die Länge des Einzelteils zwischen 19,7 cm und 20,3 liegt.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge höchstens 20,5 beträgt?
zu a)
es ist ja eine Abweichung von +/- 0,3 vom Erwartungswert . kann ich dass mit in meine rechnung einbinden?
zu b)
da habe ich noch keine ahnung zu, aber ich denke es wird klarer, wenn ich erst einmal die Lösung für a herausgefunden habe, oder nicht?

06.01.2006, 17:15

bil

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RE: stetige Zufallsgrößen, normalverteilt
hi... also:

Zitat:

Original von Jazz
EX=20 cm und die Varianz=0,2 cm

meinst du hier statt varianz vll die standartabweichung? also ich vermute es gilt:

Standardabweichung= $\begin{eqnarray*} \sigma=0,2 \end{eqnarray*}$ und Varianz= $\begin{eqnarray*} \sigma^2=0,4 \end{eqnarray*}$

es gilt $\begin{eqnarray*} X\sim N(20~,~ 0.4) \end{eqnarray*}$ verteilt

Zitat:

(a) Es ist die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass die Länge des Einzelteils zwischen 19,7 cm und 20,3 liegt.

hier musst du $\begin{eqnarray*} P(19,7\leq X\leq 20,3) \end{eqnarray*}$ berechnen.
weisst du wie man mit der normalverteilung rechnet?
wenn nicht kannst das ja mal lesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

Zitat:

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge höchstens 20,5 beträgt?[/B]

machen wir wenn du die a) fertig hast Augenzwinkern

wenn du dann nicht schon selber drauf gekommen bist.

Zitat:

zu a)
es ist ja eine Abweichung von +/- 0,3 vom Erwartungswert . kann ich dass mit in meine rechnung einbinden?

woher jetzt die 0,3 herkommen weiss ich nicht... schätze du meinst 0,2. und die musst du beim standardisieren einbinden.

gruss bil

06.01.2006, 17:35

Jazz

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RE: stetige Zufallsgrößen, normalverteilt

Zitat:

Original von bil

Standardabweichung= $\begin{eqnarray*} \sigma=0,2 \end{eqnarray*}$ und Varianz= $\begin{eqnarray*} \sigma^2=0,4 \end{eqnarray*}$

genau das meinte ich!!! vielen Dank

06.01.2006, 17:59

Jazz

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meine rechnung ist dann wie folgt:
$\begin{eqnarray*} P(19,7\leq X\leq 20,3)= \phi \frac{20,3-20}{0,2} -\phi \frac{19,7-20}{0,2} =\phi(1,5)-\phi(-1,5)=2\phi(1,5)=0,954 \end{eqnarray*}$
ist das korrekt? am ende bin ich mir nicht sicher

06.01.2006, 18:08

bil

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sieht doch schon ganz gut aus.
aber am ende ist ein kleiner fehler drin:

$\begin{eqnarray*} \Phi(1,5)-\Phi(-1,5)=\Phi(1,5)-(1-\Phi(1,5))=2\Phi(1,5)-1 \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du wieder weiter machen Augenzwinkern

bei der b)
musst du übrigens
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 20,5) \end{eqnarray*}$ berechnen. aber ich schätze mal, dass du es jetzt hinkriegst...

gruss bil

06.01.2006, 18:13

Jazz

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Zitat:

Original von bil
sieht doch schon ganz gut aus.
aber am ende ist ein kleiner fehler drin:

$\begin{eqnarray*} \Phi(1,5)-\Phi(-1,5)=\Phi(1,5)-(1-\Phi(1,5))=2\Phi(1,5)-1 \end{eqnarray*}$

weshalb hast du eine 1 dazugeschrieben? Kannst du mir das bitte erklären, oder ist das eine Zahl,die in der Gleichung immer steht.

und stimmt 0,954 trotzdem?

06.01.2006, 18:21

bil

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Zitat:

Original von Jazz
weshalb hast du eine 1 dazugeschrieben? Kannst du mir das bitte erklären, oder ist das eine Zahl,die in der Gleichung immer steht.

es gilt allgmein $\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ wegen symmetrie.
du benutzt ja eine tabelle und in der kann man nur positive werte ablesen.
deshalb musst du so umformen.
oder was ist bei dir $\begin{eqnarray*} \Phi(-1,5) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

und stimmt 0,954 trotzdem?

nein, leider nicht...

gruss bil

06.01.2006, 18:24

bil

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Zitat:

Original von Jazz
meine rechnung ist dann wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \phi(1,5)-\phi(-1,5)=2\phi(1,5) \end{eqnarray*}$

aso... sehe gerade was du gemacht hast. das geht so natürlich nicht. minus und minus ergibt zwar plus aber nicht wenn das minus in der funktion steht.
sprich:
$\begin{eqnarray*} \Phi(-x)\not=- \Phi(x) \end{eqnarray*}$

gruss bil

06.01.2006, 18:28

Jazz

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welche zahl muss ich denn in der tabelle der normalverteilung nachschauen oder muss ich erst nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ auflösen

06.01.2006, 18:35

bil

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wenn du
$\begin{eqnarray*} \Phi(1,5) \end{eqnarray*}$ willst musst du den wert 1,5 in der tabelle nachschaun.
hier ist übrigens die tabelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung
da wird auch nochmal erklärt wie man es genau macht.

$\begin{eqnarray*} \Phi(1,5) \end{eqnarray*}$ ist übrigens:
siehe bild

06.01.2006, 18:54

Jazz

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meine rechnung lautet:
$\begin{eqnarray*} \phi(1,5)-(1-\phi(1,5))= 2\phi(1,5)-1=2*0,9332-1=0,8664 \end{eqnarray*}$
müsste doch so richtig sein, oder?
jetzt versuch ich mal b)

06.01.2006, 18:55

bil

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Zitat:

Original von Jazz
meine rechnung lautet:
$\begin{eqnarray*} \phi(1,5)-(1-\phi(1,5))= 2\phi(1,5)-1=2*0,9332-1=0,8664 \end{eqnarray*}$
müsste doch so richtig sein, oder?

richtig...

06.01.2006, 19:04

Jazz

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und dann müsste b wie folgt doch lauten:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 20,5)=\phi \frac{20,5-20}{0,2} =\phi\frac{0,5}{0,2}=\phi(2,5)=0,9938 \end{eqnarray*}$
stimmt das auch?

07.01.2006, 00:33

bil

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RE: stetige Zufallsgrößen, normalverteilt

Zitat:

Original von bil
Standardabweichung= $\begin{eqnarray*} \sigma=0,2 \end{eqnarray*}$ und Varianz= $\begin{eqnarray*} \sigma^2=0,4 \end{eqnarray*}$

meinte hier natürlich $\begin{eqnarray*} \sigma^2=0,04 \end{eqnarray*}$
nur nebenbei...

Zitat:

Original von Jazz
und dann müsste b wie folgt doch lauten:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 20,5)=\phi \frac{20,5-20}{0,2} =\phi\frac{0,5}{0,2}=\phi(2,5)=0,9938 \end{eqnarray*}$
stimmt das auch?

jepp, stimmt...

gruss bil

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