Dimension und Unterraum

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension und Unterraum
Hi!

Ich habe die folgende Aufgabe, und eigentlich auch schon meine Lösung. Bin mir aber nicht sicher, deshalb stell ich das mal rein!

Es seien die folgenden reellen Vektoren gegeben:



Sei nun V eine Telmenge des der von erzeugte Unterraum.

Bestimmen Sie die Dimension von V.

Meine Idee: Ich habe erst einmal überprüft, ob die Vektoren linear unabhängig sind, um den Voraussetungen einer Basis zu genügen (d.h. erzeugend sind diese ja schon nach Voraussetzung). Habe herausbekommen, dass sie linear abhängig sind. Deshalb besteht die Basis nur aus drei Basisvektoren. Daraus schlußfolgere ich dann, dass die Dimension dim V = 3 ist (weil Dimension ist doch definiert als die Anzahl der linear unabhängigen Basisvektoren).

Es geht weiter: Nun soll ich zeigen, dass in V liegt. Naja gut, ich gucke einfach, ob ich diesen Vektor als Linearkombination der linear unabhängigen Vektoren darstellen kann. Wenn ja, dann ist dieser Vektor auch Element von V.

Dann soll ich aber noch eine Basis angeben, welche die Vektoren enthält:

Da nehme ich mir doch einfach einen der übrigen Vektoren, gucke ob die drei linear unabhängig sind. Damit wäre ich doch eigentlich fertig!?!?!

Ist das so weit in sich schlüssig und auch richtig!?

Schon mal ein dickes Dankeschön!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Habe herausbekommen, dass sie linear abhängig sind. Deshalb besteht die Basis nur aus drei Basisvektoren.

Diese Begründung ist falsch. Ich weiß nicht mal, ob das Ergebnis korrekt ist. Es kann ja auch sein, dass zwei Vektoren von den zwei anderen abhängen.
Zu der weitergehenden Aufgabe kann ich erstmal nichts sagen, da du den Vektor noch nicht angegeben hast.

Gruß MSS
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

HI MSS!

Also ich habe das ganze vlt. ganz schön verkürzt ausgedrückt:

Ich habe schon nachgeweisen, dass genau 3 dieser Vektoren linear unabhängig sind. Ich kann z.B. den vierten als Linearkombination darstellen.
Und wenn drei vektoren erzeugend und l. unabhägngig sind, bilden sie doch eine Basis, oder!!?!?
Und X5 hab ich schon angegeben - war nur ein kleiner Fehler drin, den ich schell ausgebessert habe!

Trotzdem Danke.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

MSS bitte. Augenzwinkern

Zitat:
Original von vektorraum
Ich habe schon nachgeweisen, dass genau 3 dieser Vektoren linear unabhängig sind. Ich kann z.B. den vierten als Linearkombination darstellen. Und wenn drei vektoren erzeugend und l. unabhägngig sind, bilden sie doch eine Basis, oder!!?!?

Ja, das reicht.

Zitat:
Original von vektorraum
Und X5 hab ich schon angegeben

Das habe ich wohl einfach übersehen, tut mir leid.
Nun, da linear abhängig von den anderen ist, und zwar durch

,

kannst du anstelle von einem der drei Vektoren einfach in die Basis nehmen, allerdings kannst du nicht einfach irgendeinen austauschen. Du musst einen nehmen, der in der Linearkombination von einen Faktor hat. Das haben hier alle, also kannst du dir einen aussuchen, z.B. .
Für machst du es ähnlich. Eine Darstellung für in Abhängigkeit von solltest du vorher finden.

Gruß MSS
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry MSS - hab wohl mal wieder zu schnell getippt Augenzwinkern

Nun, also denke ich mal, die Aufgabe ist damit gelöst.

Vielen Dank für deine Unterstützung!
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