Matrizenbeweise

12.05.2008, 16:39

ThLu

Matrizenbeweise

Hallo allerseits,

habe folgende Aufgabenstellung und weiss keinen Ansatz. verwirrt

Die m * n - Matrizen A, B und C seien linear unabhängig.
Zeigen sie:

a) m + n > 3

b) Die Matrizen A+B, A+C imd B+c sind linear abhängig.

Grüße Wink

12.05.2008, 17:07

WebFritzi

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Nimm an, es sei m + n <= 3. Welche Fälle gibt es dann? Welche Dimension hat der Vektorraum der reellen (m x n)-Matrizen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{m\times n}? \end{eqnarray*}$

12.05.2008, 17:32

ThLu

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Fall 1: m=1 n=2
Fall 2: m=1 n =1
Fall 3: m=2 n=1

$\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 2 und $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 3
allgemein: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ hat die Basis n

12.05.2008, 17:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von ThLu
Fall 1: m=1 n=2
Fall 2: m=1 n =1
Fall 3: m=2 n=1

Ja.

Zitat:

Original von ThLu
$\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 2 und $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 3
allgemein: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ hat die Basis n

Hatte ich das gefragt?

12.05.2008, 17:39

ThLu

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nein, sorry smile

wie geht es dann weiter?

12.05.2008, 17:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von ThLu
wie geht es dann weiter?

Indem du meine Frage beantwortest.

12.05.2008, 17:52

ThLu

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{1x2} \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 2
$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{1x1} \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 1
$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2x1} \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 2

oder nicht

12.05.2008, 18:12

WebFritzi

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Ja. Und jetzt soll es drei Matrizen in diesem Raum geben, die linear unabhängig sind.

12.05.2008, 18:18

ThLu

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ich weiss nicht so recht wie ich das anstellen soll

13.05.2008, 14:32

ThLu

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hallo, ich habe heute nochmal versucht die aufgabe zu lösen...

wäre das bei

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2x1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit liese sich kein dritte Matrix mehr finden, die linear unabhändig wäre?

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{1x1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit liese sich kein dritte Matrix mehr finden, die linear unabhändig wäre?

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{1x2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit liese sich kein dritte Matrix mehr finden, die linear unabhändig wäre?

Somit dient, das als Gegenbeweis zu der Annahme m+n > 3 ?

13.05.2008, 14:56

kiste

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Ja das sind jeweils Basen, das hättest du aber nicht machen müssen den aus der Dimension eines VR lässt sich auch gleich die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren bestimmen

13.05.2008, 15:02

ThLu

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kannst du mir auch verraten wie ?

13.05.2008, 15:25

kiste

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Wie ist den die Dimension definiert? Hammer

13.05.2008, 15:35

ThLu

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ups.. sehe es gerade... Hammer

ich trottel

kannst du mir auch noch bei der b) helfen?

13.05.2008, 17:55

Mathespezialschüler

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b) ist falsch. Richtig müsste die Aufgabe so lauten:

Zitat:

[...]

b) Die Matrizen A+B, A+C imd B+c sind linear unabhängig.

13.05.2008, 20:58

ThLu

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oh sorry.. sehe es gerade...

die aufgabenstellung lautet, so wie du es sagst

nur ich finde da keinen anfang

14.05.2008, 00:24

Mathespezialschüler

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Fange bei

$\begin{eqnarray*} a\cdot (A+B)+b\cdot (A+C)+c\cdot (B+C)=0 \end{eqnarray*}$

an, multipliziere alles aus, klammere dann die Matrizen (d.h. die großen Buchstaben) aus und nutze die linear Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ .

14.05.2008, 17:20

ThLu

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habe dann also jetzt

$\begin{eqnarray*} a * (A+B) + b * (A+C) + c * (B+C) \end{eqnarray*}$

ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} aA + aB + bA + bC + cB + cC \end{eqnarray*}$

ist äuivalent zu

$\begin{eqnarray*} A * (a+b) + B * (a+c) + C * (b+c) \end{eqnarray*}$

und da in a) schon bewiesen wurde das A, B, C linear unabhängig sind, sind vielfache davon auch unabhängig und b) ist fertig

so korrekt?

gruß Thomas

14.05.2008, 17:39

WebFritzi

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Was du da schreibst, ist quasi alles falsch. Erstens solltest du schreiben:

$\begin{eqnarray*} a * (A+B) + b * (A+C) + c * (B+C) = 0 \end{eqnarray*}$

ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} aA + aB + bA + bC + cB + cC = 0 \end{eqnarray*}$

ist äuivalent zu

$\begin{eqnarray*} A * (a+b) + B * (a+c) + C * (b+c) = 0. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ThLu
und da in a) schon bewiesen wurde das A, B, C linear unabhängig sind, sind vielfache davon auch unabhängig

Ds stimmt zwar, tut hier aber nichts zur Sache. Aus der letzten Gleichung folgt etwas. Was ist dies? EDIT: Außerdem wurde in (a) nicht bewiesen, dass A,B,C linear unabhängig sind.

14.05.2008, 17:57

ThLu

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jetzt ist die A, B, C doch linear unabhängig, wenn für die Skalare (a+b), (a+c) und (b+c) jeweils nur die 0 als Lösung trivial ist, ansonnsten hab ich keine Ahnung

14.05.2008, 18:00

WebFritzi

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Zitat:

Original von ThLu
jetzt ist die A, B, C doch linear unabhängig, wenn für die Skalare (a+b), (a+c) und (b+c) jeweils nur die 0 als Lösung trivial ist, ansonnsten hab ich keine Ahnung

Drück dich mal bitte ein wenig klarer aus. Was du schreibst, ist Nonsense. Ich denke aber, dass du das richtige meinst.

14.05.2008, 18:04

ThLu

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tut mir leid unglücklich

ich weiss es wirklich nicht besser

14.05.2008, 21:43

WebFritzi

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Es geht nicht um WISSEN, sondern um AUSDRÜCKEN. Versuch doch bitte mal, das, was du oben sagen wolltest, so auszudrücken, dass es Sinn macht.

15.05.2008, 12:35

ThLu

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wenn (a+b) = 0 , (a+c) = 0 und (b+c) = 0 und es lässt sich jeweils nur die 0 einsetzen, dann ist A, B, C unabhängig

15.05.2008, 15:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von ThLu
und es lässt sich jeweils nur die 0 einsetzen

Wo? Versuch doch mal, dich in jemanden reinzuversetzen, der nicht du ist. Wie soll man das verstehen, was du da schreibst?

Außerdem weißt du doch schon, dass A,B,C linear unabhängig sind. Was bringt es, das erneut (und auch noch falsch) zu folgern? Versuch es lieber andersherum zu sehen. A,B,C sind linear unabhängig. Was folgt nun daraus für die Summen a+b, a+c und b+c?

15.05.2008, 16:35

ThLu

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alsooo...

wenn man z.b. die Form $\begin{eqnarray*} x1 * \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + x2 * \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} + x3 * \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hätte
und man weiss das A, B, C unabhängig sind, dann muss x1, x2, x3 jeweils 0 sein, was in meiner Aufgabe jeweils (a+b), (a+c) und (c+b) wäre

somit muss a+b = 0 , a+c = 0 und b+c = 0 sein

15.05.2008, 18:04

Mathespezialschüler

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Und weiter?

15.05.2008, 18:18

ThLu

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I. a+b = 0
II. a+c = 0
III. b+c = 0

dann ist

I. a=-b

und das eingesetzt in die II. gleichung ist

-b + c = 0

und das ist ein widerspruch zu III.

b + c = 0

es sei denn b = 0.

und wenn b = 0 ist, dann müssen c und a auch = 0 sein
und somit ist A+B, A+C und B+C linear unabhängig?

15.05.2008, 19:12

WebFritzi

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Na also. Geht doch. Freude

15.05.2008, 19:16

ThLu

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vielen vielen dank für eure geduld und mühen mit mir Gott

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