Cauchy Folge...

12.05.2008, 17:33

ceciliaN

Cauchy Folge...

Wi egelingt mir der Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz für :

(1/n + x^2)^(1/2)??

Ich bin ziemlich am verzeweifeln udn weiß nicht merh weiter...!

Wäre lieb, wenn mir einer ein bißchen unter die Arme greifen könnte...!

Gruß

12.05.2008, 17:37

WebFritzi

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3. binomische Formel z.B.

12.05.2008, 17:49

ceciliaN

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Mhhh, es kann vielleicht sein, dass cih jetzt vollkommen auf dem Schlauch stehe...aber wissen, was ich damit jetzt hier soll tue ich dennoch nicht....!
Geht das nicht auch über (1/n)^(1/2) + (x^2)^(1/2) abzuschätzen?? bei mri kommt nur nichts gescheitest heraus, weil mir die Mathemathik dahinter wohl noch nicht ganz so klar ist....!

12.05.2008, 17:50

tmo

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Wie lautet denn die Grenzfunktion?

12.05.2008, 18:26

ceciliaN

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Grenzfunktion???
(x^2)^(1/2)

12.05.2008, 18:30

tmo

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Genau. Das ist die Grenzfunktion.

Was musst du denn jetzt genau zeigen? Also wie ist die gleichmäßige Konvergenz definiert? (Immerhin geistern ja 2 verschiedenformulierte Definitionen rum)

PS: Verwende doch bitte mal den Formeleditor. Damit kannst du auch Wurzeln darstellen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$

12.05.2008, 18:47

ceciliaN

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Ich möchte ;-) zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{n} + x^2} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}} \end{eqnarray*}$ konvergiert!

edit tmo: Latex-Tags eingefügt.

12.05.2008, 18:49

tmo

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Dazu solltest du aber wissen wie die gleichmäßige Konvergenz definiert ist.

Weil erst, wenn du einen Anfang hast, kannst du den Tipp, den WebFritz im ersten Post gegeben hat, verstehen.

PS: [latex]-Tags setzen.

12.05.2008, 19:01

ceciliaN

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Na, ich bin bis jetzt so weit, dass $\begin{eqnarray*} | \sqrt{1/n + x^{2}} - \sqrt{ x^{2}} | - \sqrt{ x^{2}} > \end{eqnarray*}$ epsilon sein soll - das ist ja auch der Standard-Ansatz nach Cauchy und das würde quasi der 3. binomischen Formel entsprechen...aber viel weiter bringt mich das ja auch noch nicht - oder??

12.05.2008, 19:04

ceciliaN

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oder auch nicht.....sorry!

12.05.2008, 19:08

tmo

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Was hat das mit gleichmäßiger Konvergenz zu tun? verwirrt

Es muss für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein N geben, sodass $\begin{eqnarray*} \left| \sqrt{\frac{1}{n}+x^2}-\sqrt{x^2}\right| <\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt.

Den Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{n}+x^2}-\sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ kannst du so erweitern, dass du die 3. binomische Formel anwenden kannst.

12.05.2008, 19:14

ceciliaN

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ich bin verwirrt....

12.05.2008, 19:19

ceciliaN

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o.k. ich habe dann da ja stehen:
$\begin{eqnarray*} (1/n + x^{2} - x^{2} )/ (\sqrt{ 1/n + x^{2} } + \sqrt{x^{2} }) \end{eqnarray*}$

12.05.2008, 19:21

tmo

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Genau. Im Zähler fällt doch jetzt etwas weg.

Und den Nenner kannst du nach unten abschätzen, sodass der ganze Bruch nach oben abgeschätzt wird.

12.05.2008, 19:22

ceciliaN

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$\begin{eqnarray*} (1/n )/ (\sqrt{ 1/n + x^{2} } + \sqrt{x^{2} }) \end{eqnarray*}$

12.05.2008, 19:25

ceciliaN

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wogegen soll ich den Nenner abschätzen?? $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1/n + x^{2} } \end{eqnarray*}$ ??

12.05.2008, 19:26

tmo

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Noch etwas mehr "weglassen" Augenzwinkern

Du solltest dir vielleicht mal angewöhnen erst deine Gedanken zu ordnen und dann zu posten. So vermeidest du die ganzen doppelposts. Weiterhin kannst du auch editieren.

12.05.2008, 19:36

ceciliaN

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ich denke doch geordnet zu ahben, bevor ich absende....nur - fällt mir dann noch mehr ein, wenn ich es auf dem Bildschirm vor mir sehe....! ,-p
Also: soll ich es mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{1/n} \end{eqnarray*}$ abschätzen??^^
Da bleibt dann doch stehen: ... < =| $\begin{eqnarray*} 1/ \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ |< epsilon

-> n < 1/ epsilon^2

??
Aber....bin ich jetzt schlauer als zuvor??
Mir ist irgendwie schleierhaft,...ob das jetzt bewiesen ist...kommt mir leicht willkürlich vor! ;-(
Kann man meine Operationen - wenn sie jetzt so richtig sind - auch mathematisch in Worte fassen??

. . .sind die Betragsstriche wieder korrekt gesetzt ... < =| $\begin{eqnarray*} 1/ \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ |< epsilon- oder fallen die weg??

12.05.2008, 19:41

tmo

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Das ist soweit richtig.

Es ist $\begin{eqnarray*} \left| \sqrt{\frac{1}{n}+x^2}-\sqrt{x^2}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Danach hast du allerdings einen Fehler gemacht, als es darum ging zu bestimmen für welche n
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}< \varepsilon \end{eqnarray*}$
gilt.
Du hast das Ungleichungszeichen nicht umgekehrt, als du den Kehrwert gebildet hast.

Zitat:

Original von ceciliaN

. . .sind die Betragsstriche wieder korrekt gesetzt ... < =| $\begin{eqnarray*} 1/ \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ |< epsilon- oder fallen die weg??

Überlege doch mal selbst. Wann kann man Betragsstriche weglassen?

12.05.2008, 19:47

ceciliaN

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n = 1/ epsilon^2 sollte da stehen....es handelte sich um einen Tippfehler!
- wenn du auf diesen Fehler hindeuten möchtest...!
Aber ist das jetzt so mathematisch korrekt??

12.05.2008, 19:50

tmo

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falls du $\begin{eqnarray*} N = \frac{1}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$ wählen willst, solltest du bedenken, dass N natürlich sein soll.

12.05.2008, 19:53

ceciliaN

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falls ich N = 1/epsilon^2 wählen möchte?? Ist´es nicht ratsam das so zu tun??
kann cih es auch n0 nennen??

12.05.2008, 21:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von tmo
falls du $\begin{eqnarray*} N = \frac{1}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$ wählen willst, solltest du bedenken, dass N natürlich sein soll.

Muss es nicht.

12.05.2008, 22:16

ceciliaN

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Danke für die Hilfe!
Ich hab es jetzt verstanden und es sogar ohne binomische Formeln mit einem 2-Zeiler hinbekommen!

Gruß

und noch einmal Danke,

denn ihr habt mir wirklich geholfen!

12.05.2008, 22:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von ceciliaN
Ich hab es jetzt verstanden und es sogar ohne binomische Formeln mit einem 2-Zeiler hinbekommen!

Es ist üblich, dass man seine Lösung hier reinschreibt.

13.05.2008, 13:02

ceciliaN

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|\sqrt{1/n + x^{2}} - \sqrt{x^{2} }| \leq \sqrt{1/n} + \sqrt{x^{2}} - \sqrt{x^{2}} < = \leq 1/ \sqrt{N} < epsilon

. . . ich fand es toll! Freude

14.05.2008, 12:28

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} |\sqrt{1/n + x^{2}} - \sqrt{x^{2} }| \leq \sqrt{1/n} + \sqrt{x^{2}} - \sqrt{x^{2}} < = \leq 1/ \sqrt{N} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Ja, das ist gut. smile

10.06.2008, 19:20

Grenze1

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Hallo!

sry wenn ich mich reindränge ; ich habe da eine Frage zur Abschätzung bei dieser

Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \left| \sqrt{\frac{1}{n}+x^2}-\sqrt{x^2}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Warum wurden die 'X'-se einfach weggelassen ? wurden die Null gesetzt oder wie argumentiert man da? Lass ich die weg da N nur von Epsilon abhängen muss?

10.06.2008, 19:32

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Da wird nix "weggelassen". Die Begründung steht ausführlich im Thread, etwa beginnend hier. Den Thread solltest du schon lesen!

10.06.2008, 20:00

Grenze1

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ich habe den thread gelesen. (schon vorher) aber mein problem ist eben

$\begin{eqnarray*} 1/(n*\sqrt{1/n+x^2}+ ) \mid n*x \mid \end{eqnarray*}$

das habe ich durch umformung erhalten;

jetzt muss ich den Nenner abschätzen ;

und wie argumentiere ich jetzt

( ich weiß schon das das im thread mit der Binomischen Formel gemacht wurde ) es ist aber wichtiger für mich meinen gedankengang weiterzuverfolgen und wenn dieser nicht geht , eben zu verstehen warum ... .

Wenn es so nicht geht wäre ein Grund ganz toll warum nicht.

10.06.2008, 20:33

Grenze1

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Z.B verstehe ich nicht warum bei dieser Aufgabe :

http://www.matheboard.de/archive/47837/thread.html

bei der Rechnung wird aus 1/(1+n*x) das hier 1/(1+n*a) muss ich das x wenn eines in dem Ausdruck drin ist abschätzen ? wenn ja wie das der Ausdruck möglichst größ wird?

sry wenn das doofe Fragen sind aber ich verstehe es einfach nicht...

10.06.2008, 20:36

Grenze1

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sry für den Doppelpost.

wird das a eingesetzt weil es das kleinste anzunehmende x ist? ,sodass der gesamtausdruck möglichst groß wird?

13.06.2008, 18:29

Grenze1

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mag mir denn keiner helfen oder einen Tipp geben? unglücklich

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