Integration

08.01.2006, 01:29

Bisasam

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Integration

Gn8

Buschmann

Ich ärger mich gerade über $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{a^{x}}{a^{2x}+1}dx \end{eqnarray*}$

Ich habs erstma umgeformt zu $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{1}{a^{x}+1}dx \end{eqnarray*}$

und dann $\begin{eqnarray*} u= a^{x}+1 \end{eqnarray*}$

Dann habsch $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{u}~ \frac{du}{ax} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiss ich nich wie es weitergeht.
bzw was ich oben anders machen kann.
Ich hab schon ziehmlich alles ausprobiert.

08.01.2006, 01:31

JochenX

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RE: Integration

Zitat:

Original von Bisasam
Gn8 Buschmann

Buschmann

Ich ärger mich gerade über $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{a^{x}}{a^{2x}+1}dx \end{eqnarray*}$

Ich habs erstma umgeformt zu $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{1}{a^{x}+1}dx \end{eqnarray*}$

nein, oder? überdenke bereits diesen schritt....

08.01.2006, 01:33

Bisasam

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hm jo hasst Recht !
Ich bin so ein Noob!!!
Weil ich völlig besessen war es umzuformen weil ich auf keine Lösung gekommen bin hab ich das gemacht !!!
Aber ich habs auch ohne Umformung mit der Ursprungsgleichung probiert und nix hat geklappt..

08.01.2006, 02:29

MrPSI

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hast du denn schon die Substitution $\begin{eqnarray*} u=a^x \end{eqnarray*}$ gemacht oder versucht, es als Produkt zu schreiben und dann die part. Integration?

08.01.2006, 12:10

-felix-

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Ich weis nicht, ob ich meinerseits einen Fehler gemacht habe, aber bei mir hat die Substitution $\begin{eqnarray*} u := a^{2x}+1 \end{eqnarray*}$ wunderbar mit der Ausgangsgleichung funktioniert.

08.01.2006, 12:49

Bisasam

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Zitat:

Original von -felix-
Ich weis nicht, ob ich meinerseits einen Fehler gemacht habe, aber bei mir hat die Substitution $\begin{eqnarray*} u := a^{2x}+1 \end{eqnarray*}$ wunderbar mit der Ausgangsgleichung funktioniert.

...
$\begin{eqnarray*} u'=2a \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{a^{x} }{u~2a} du \end{eqnarray*}$
Wie mach ich jetzt weiter ?
Wir sollen es mit Substitution lösen.

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08.01.2006, 12:55

Lazarus

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du musst alle x´s durch u ersetzten!

08.01.2006, 12:56

Bisasam

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Zitat:

Original von MrPSI
hast du denn schon die Substitution $\begin{eqnarray*} u=a^x \end{eqnarray*}$ gemacht oder versucht, es als Produkt zu schreiben und dann die part. Integration?

...
$\begin{eqnarray*} u'=a \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{u}{(a^{2x}+1)a}~du \end{eqnarray*}$
Wie jetzt weiter ?

08.01.2006, 12:58

Lazarus

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bitte les meinen vorherigen post: alle x´s müssen mithilfe von u´s ersetzten werden.

08.01.2006, 12:58

Bisasam

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Zitat:

Original von Lazarus
du musst alle x´s durch u ersetzten!

Dann hab ich das selbe wie vorher blos das für x dann jeweils u steht...
?

08.01.2006, 13:02

-felix-

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Zitat:

Original von Bisasam

Zitat:

Original von -felix-
Ich weis nicht, ob ich meinerseits einen Fehler gemacht habe, aber bei mir hat die Substitution $\begin{eqnarray*} u := a^{2x}+1 \end{eqnarray*}$ wunderbar mit der Ausgangsgleichung funktioniert.

...
$\begin{eqnarray*} u'=2a \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{a^{x} }{u~2a} du \end{eqnarray*}$
Wie mach ich jetzt weiter ?
Wir sollen es mit Substitution lösen.

Deine Ableitung stimmt nicht:
$\begin{eqnarray*} u'(x) = 2 \ln(a) a^{2x} \end{eqnarray*}$

edit: Sorry, habe gerade gemerkt, dass ich mich selbst verrechnet habe, so funktioniert es nicht.

08.01.2006, 13:08

Bisasam

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Zitat:

Deine Ableitung stimmt nicht:
$\begin{eqnarray*} u'(x) = 2 \ln(a) a^{2x} \end{eqnarray*}$

Kotzen

g(x)=a
f(x)=2x
f'(g(x))=f'(g(x)) g'(x)
g'(x)=1
f'(x)=2
also müsste es doch 2a sein ?
die 1 fällt raus

08.01.2006, 13:09

Lazarus

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*gg*

die subtituion u=a^x+1 hat schon gepasst, nur musst du konsequent alle terme in denen ein x vorkommt mithilfe eines termes in dem u vorkommt ersetzten.

dazu kommt noch, das die ableitung falsch war, das ist auch richtig.

\\edit: es ist aber nicht a*2x sondern a^(2x), also muss die ableitung so lauten wie felix es sagt

08.01.2006, 13:14

Bisasam

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Zitat:

Original von Lazarus
\\edit: es ist aber nicht a*2x sondern a^(2x), also muss die ableitung so lauten wie felix es sagt

und wie kommt man darauf ?
man muss doch die Kettenregel anwenden wenn in der Potenz eine Funktion steht ?

08.01.2006, 13:19

Lazarus

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du kannst $\begin{eqnarray*} a^{2x} \end{eqnarray*}$ umschreiben zu $\begin{eqnarray*} e^{\ln{\left(a\right)}\cdot 2x} \end{eqnarray*}$ und dann leitest du halt des hab.

08.01.2006, 13:22

-felix-

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So, hab es jetzt nochmals durchgerechnet.
Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u := a^x \end{eqnarray*}$ und anschließender (komplexer) Partialbruchzerlegung ist es machbar.

08.01.2006, 13:26

Bisasam

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Zitat:

Original von -felix-
So, hab es jetzt nochmals durchgerechnet.
Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u := a^x \end{eqnarray*}$ und anschließender (komplexer) Partialbruchzerlegung ist es machbar.

Partialbruchzerlegung hatten wir noch nich. Ich versuchs mal mit Lazarus Spezialtechnik

08.01.2006, 13:27

Lazarus

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wofür ne komplexe partialbruchzerlegung ?

einfach ausklammern, und dann konstante vorziehen, dann sollte man die lösung schon sehen.

08.01.2006, 13:57

Bisasam

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Wie stell ich jetzt $\begin{eqnarray*} u := a^{2x}+1 \end{eqnarray*}$ nach x um ?
Irgendwie übern natürlichen Logharitmus aber den versteh ich nicht.
Den habe ich auch noch nie behandelt. Die Lehrer sind völlig übergeschnappt.

08.01.2006, 14:01

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} u &=& e^{\ln{\left(a\right)}\cdot 2x}+1 \\u-1&=&e^{\ln{\left(a\right)}\cdot 2x} \\ \ln(u+1) &=& \ln{\left(a\right)}\cdot 2x \\ \frac{\ln(u+1)}{2\cdot\ln{\left(a\right)}} &=& x \end{eqnarray*}$

08.01.2006, 14:12

-felix-

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Wir sprechen doch über das Integral:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{a^x}{a^{2x}+1} dx \end{eqnarray*}$
Substitution $\begin{eqnarray*} u := a^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = a^x \ln a \Leftrightarrow dx = \frac{du}{a^x \ln a} \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{a^x}{a^{2x}+1} dx=\frac{1}{\ln a}\int \frac{1}{u^2+1} du \end{eqnarray*}$ .
Und jetzt weis ich nicht, wie man mit ausklammern weiterkommen sollte. Ich habe nun PBZ gemacht, wobei die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} u^2 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ komplex sind.

08.01.2006, 14:18

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{1}{x^2+1}~\mathrm dx = \arctan{x} + C \end{eqnarray*}$

\\edit: das ausklammern hab ich vorher schon gemacht, wenn du in jedem faktor ln(a) hast.

08.01.2006, 14:24

-felix-

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Nein, bin ich blöd. Das ist das Problem, wenn man sich sowas selber mal herleitet ohne es in der Schule ausführlich zu üben: Man vergisst es wieder...
Gut, stimmt natürlich. Danke

08.01.2006, 14:28

Lazarus

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warum denn leicht wenns auch schwer geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber sehs positiv: so bleibste in übung !

08.01.2006, 14:40

Bisasam

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Hat jemand ne gute Seit wo das mit dem natürlichen Alg. gut(leicht verständlich) erklärt ist?

Ich bin jetzt schon bei der nächsten Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}x^{3} \sqrt{4-x^{2}}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u=4-x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=-2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}=4-u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{(4-u)x~\sqrt{u} }{-2x}~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int_{}^{}(4-u) u^{\frac{1}{2}}~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int_{}^{}4u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{2}{3}}~du \end{eqnarray*}$
Is das korrekt ?

08.01.2006, 14:45

-felix-

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$\begin{eqnarray*} u \cdot \sqrt{u} \neq u^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$
sonst stimmts.

08.01.2006, 14:48

Lazarus

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da ichs weng anders gemacht hab, zeig doch mal das endergebniss, dann kann mans vergleichen

08.01.2006, 14:59

Bisasam

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Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{1}{x^2+1}~\mathrm dx = \arctan{x} + C \end{eqnarray*}$

\\edit: das ausklammern hab ich vorher schon gemacht, wenn du in jedem faktor ln(a) hast.

du meintest wohl

$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{1}{u^2+1}~\mathrm dx = \arctan{a^{x} } + C \end{eqnarray*}$

08.01.2006, 15:02

Lazarus

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nein.
1) int(1/u^2+1)dx ist schonmal quatsch. das wäre nämlich x/(u^2+1)

2) =arctan(a^x) woher kommt denn das a ?
und warum ^x ?

und da arctan'(x)=1/(x^2+1) denk ich schon das int(1/(x^2+1))dx=arctan(x) +c ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus

08.01.2006, 15:06

Bisasam

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Zitat:

Original von Lazarus
2) =arctan(a^x) woher kommt denn das a ?
und warum ^x ?
servus

weil u=a^x ist

08.01.2006, 17:20

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

achso!
du hast gleich wieder zurück subtituiert.
ich wollte felix den allgemeinen fall darstellen.

ist aber nur der eine teil von dem endergebniss, da fehlt noch was, was du anscheindend unterwegs verloren hast.

08.01.2006, 17:23

Bisasam

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Hm das ist eigentlich fertig komplett das Ergebnis

08.01.2006, 17:41

Bisaflor

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Wo gibt es nochma die Regeln zur Aufleitung einer Stammfunktion ?

08.01.2006, 17:45

Lazarus

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es ist noch nicht ganz fertig, du hast den konstanten faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln a} \end{eqnarray*}$ den du vors integral gezogen hast vergessen.

aufleitung gibts nicht, das ist kein terminus technicus, wie der lateiner so schön sagt, aber eine nette sammlung von stammfunktionen gibts hier [von links nach rechts sinds ableitungen, von rechts nach links integrationen]

servus

08.01.2006, 18:00

Bisaflor

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Zitat:

Original von Lazarus
es ist noch nicht ganz fertig, du hast den konstanten faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln a} \end{eqnarray*}$ den du vors integral gezogen hast vergessen.

aufleitung gibts nicht, das ist kein terminus technicus, wie der lateiner so schön sagt, aber eine nette sammlung von stammfunktionen gibts hier [von links nach rechts sinds ableitungen, von rechts nach links integrationen]
servus

Sers... stimmt & Danke für den Link !

So nun noch eine letzte Aufgabe die ich nich hinbekomme, die wir mit Substitution lösen sollen...

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{u^{3}+1}{u^{2}+u} \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter ?

08.01.2006, 18:10

Lazarus

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Partialbruchzerlegung

08.01.2006, 18:17

Bisaflor

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Geht das nich ohne ?
Das hatten wir noch nicht und in der Aufgabenstellung steht explizit mit Substitution...

08.01.2006, 18:23

-felix-

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Polynomdivision:
$\begin{eqnarray*} (u^3+1) : (u^2+u) \end{eqnarray*}$
Dann geht es auch ohne PBZ.
edit: Latex verbessert

08.01.2006, 19:05

Bisasam

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Dann hab ich $\begin{eqnarray*} u-1 \end{eqnarray*}$ mit Rest $\begin{eqnarray*} u+1 \end{eqnarray*}$
Was nun ?

Grüße euer Bisa

08.01.2006, 20:07

-felix-

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$\begin{eqnarray*} \frac{u^3+1}{u^2+u} =u-1+\frac{u+1}{u^2+u} = u-1 + \frac{1}{u} \cdot \frac{u+1}{u+1} \end{eqnarray*}$
Rest denke ich, sollte klar sein.

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