Abstand

08.01.2006, 12:05

Lambrina

Abstand

Bei folgender aufgabe habe ich arge probleme, kann da jemand helfen?

Ich muss den Abstand vom punkt (1;-1;0) zu dem rotationshyperboloiden x^2+y^2-z^2=1 berechnen.

Ich war soweit das ich alles partiell ableite und somit die senkrechte ebene (so ne art "Lotebene" habe) ... aber irgendwie kommt ich nicht auf den punkt

08.01.2006, 13:40

Frooke

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Wie sieht denn die Ebene aus? Von der aus dürfte es nicht schwierig sein, den Abstand zu berechnen. Zeige doch mal deinen bisherigen Lösungsweg!

08.01.2006, 14:11

JochenX

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hmmm, wäre das nicht einfacher zu lösen ("einfacher" schon in anbetracht der tatsache, dass ich überhaupt keine ahnung habe, wie du da eine ebene reinsetzen willst, insbesondere worein, aber vielleicht bin ich auch zu dumm) mit der lagrangegen multiplikatrenregel?
also dem lagrangeverfahren zur bestimmung von extremwerten unter nebenbedingungen?

08.01.2006, 16:06

Mathespezialschüler

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Verschoben

08.01.2006, 17:17

Abakus

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Du hast eine Extremwertaufgabe mit einer Nebenbedingung. Der Einstieg wäre die Zielfunktion und die Nebenbedingung zu formulieren.

Ansonsten eignet sich das Verfahren von Lagrange zB, ja.

Grüße Abakus

09.01.2006, 13:01

Lambrina

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Vielen dank, an die Lagrange Multiplikatoren habe ich gar nicht gedacht, doch wie komme ich nun auf die Funktionen bzw nebenbedingungen?

Als Funktion habe ich mir folgendes gedacht:
f(x,y)=sqrt(x^2+y^2-1)
Problem ist, wie sieht die nebenbedingung aus?
Abstand vom punkt (1,-1,0) zu der funktion soll minimal sein.
Aus dem minimal weis ich, das es ne ableitung sein muss, aber weiter komm ich gerade nicht.
Help pls, ich muss das heute noch hinbekommen

09.01.2006, 15:23

JochenX

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du weißt, wie die lagrangeregel geht?

abstandsfunktion d(x,y,z) (zum angegebenen punkt) sieht wie genau aus?
nicht wie deins.....

als nebenbedingung hast du, dass (x,y,z) auf deinem hyperdings liegt, also was erfüllt? (h(x,y,z))

deine lagrangefunktion L(x,y,z,a) ist dann L(..)=d(..)+a*h(..)
die musst du dann nach jeder komponente ableiten....

09.01.2006, 16:07

Lambrina

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Sorry das war jetzt zu hoch für mich.

ich dachte ich habe eine funktion gegeben und 1(oder mehrere nebenbedingungen). dann muss ich die funktion nehmen
f(x,y)=sqrt(x^2+y^2-1)
und jede nebenbedingung mit einem lambda multiplizieren und dazuaddieren. und dann nach allen variablen partiell ableiten und das erhaltene gleichungssystem lösen.
ALs hauptfunktion denke ich
f(x,y)=sqrt(x^2+y^2-1)
nur die nebenbedingung/en kann ich nicht als funktion zusammenfassen.
irgendwie der abstand muss minimal zu dem punkt sein.
also muss ich den abstand irgendwie ableiten. und was mach ich dann mit dem pkt?
und wie genau ist die abstandsfunktion?
is das evtl
sqrt((x-1)^2+(y+1)^2-1) ??
und muss ich die dann ableiten?

09.01.2006, 16:23

JochenX

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Zitat:

und jede nebenbedingung mit einem lambda multiplizieren und dazuaddieren. und dann nach allen variablen partiell ableiten und das erhaltene gleichungssystem lösen.

genau das habe ich auch gemacht, lambda habe ich eben a genannt
d(x,y,z) ist meine hauptfunktion, f(x,y,z) die nebenfunktion

bei deiner abstandsfunktion fehlt mir immer noch das z....
nebenfunktion ist einfach deine nebenbedingung nach 0 aufgelöst

in deinem falle also "x^2+y^2-z^2=1" wird zu h(x,y,z)=......

09.01.2006, 16:38

Lambrina

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

und jede nebenbedingung mit einem lambda multiplizieren und dazuaddieren. und dann nach allen variablen partiell ableiten und das erhaltene gleichungssystem lösen.

dann ist doch aber meine nebenfunktion und meine hauptfunktion gleich oO

ich versteh jetzt gar nix mehr *heul*

09.01.2006, 17:09

JochenX

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vielleicht nutzen wir auch nur unterschiedliche namen

bei mir: hauptfunktion ist die zu minimierende funktion, also die hier abstandsfunktion
nebenfunktion, aus der nebenbedingung entstehend, das was mit dem lagrangemultiplikator (lambda bei dir) angehängt wird (hier aus der bedingung, dass dein punkt auf dem rotationsdingens liegen muss)

ich weiß nicht, wo es bei dir hängt unglücklich

09.01.2006, 17:32

Lambrina

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Ok, nochmal ganz langsam smile

Ich habe die funktion
x^2+y^2-z^2=1

und einen gegebenen Punkt (1,-1,0) und nun soll ich den abstand von dem Punkt zu der funktion bestimmen.

Wir sind nun soweit das wir das mit der lagrange multiplikation machen müssen.
ICh würde nun die gegebene funktion nach z auflösen und sie (mit deinen worten) als "hauptfunktion" deklarieren.
Als nebenfunktion würde ich die Abstandsfunktion nehmen(wobei ich nach wie vor nicht weis wie die aussieht, ich kann sie einfach nicht zusammenbauen)
Dann würde ich die hauptfunktion nehmen(nach z aufgelöst) und lambda*nebenfunktion addieren, und dann alles nach den variablen ableiten und das system lösen.

Bezeichnungen:
Hauptfunktion: h
Nebenfunktion: n
Die langrange Funktion sieht dann so aus
L=h + lambda*n

Mit meinen werten:
Hauptfunktion: h(x,y)=sqrt(x^2+y^2-1)
Nebenfunktion: n()= ?????? keine ahnung
L(x,y,lambda)= sqrt(x^2+y^2-1) + lambda*(??????)

Problem:
1. Ich weis nicht wie ich die abstandsfunktion zusammenbauen soll
2. ich löse ja meine hauptfunktion nach z auf um eben eine funktion der form h(x,y)=....... zu haben. Jedoch verunsicherst du mich gerade ob ich das machen darf. Wenn ich es nicht mache, weis ich aber nicht wie dann die funktion aussehen soll.
3. wieso is deine haupt und nebenfunktion andersrum wie meine?

09.01.2006, 20:05

JochenX

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weil das andersrum sinn macht

hauptfunktion ist immer die, die minimert wird im endeffekt
angehängt wird mit lambda1, lambda 2,... alle nebenbedingungen

in deinem fall ist nun mal die hauptfunktion dann die abstandsfunktion
und wie ich schon oft gesagt habe ist die bedingung, dass du auf dem hyperrotierdingsbums liegst die nebenbedingung

zur abstandfunktion: einfach mit dem raumpythagoras rangehen
wie ist denn der abstand eines beliebigen punktes (x,y,z) zu deinem gegebenen punkt?

[beachte anschließend, dass du auch d^2 minimieren kannst]

09.01.2006, 20:28

Lambrina

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ABstand d im raum z ist sqrt(x^2+y^2+z^2)
wobei x, y und z jeweils der unterschied der zwei punkte ist deren abstand ich haben will.
nur wie mache ich daraus den abstand zwischen dem punkt und der hyperbelfunktion?

ach so .... moment, stimmt folgende idee:

die abstandsfunktion ist dann sqrt[(x-1)^2+(y+1)^2+z^2]
(also generelle funktion wobei ich bei jedem punkt dann die x,y,z werte abziehe)

L(x,y,z,lambda)=sqrt(x^2+y^2+z^2) + lambda*(sqrt(x^2+y^2-1))

stimmt das so?

09.01.2006, 20:41

JochenX

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Zitat:

die abstandsfunktion ist dann sqrt[(x-1)^2+(y+1)^2+z^2]

das stimmt Freude

Zitat:

L(x,y,z,lambda)=sqrt(x^2+y^2+z^2) + lambda*(sqrt(x^2+y^2-1))

das hingegen gar nicht, weder vorne noch hinten

edit: "[beachte anschließend, dass du auch d^2 minimieren kannst]"
aber erst nachdem du das obige mal richtig gemacht hast unglücklich

09.01.2006, 21:09

Lambrina

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Ahhhh ok, langsam kommts, die nebenbedingung muss ja von der form sein n(x,y,z)=0, oder?
also ist die nebenbedingung
x^2+y^2-z^2-1=0
Und somit die gesamte funktion

L=sqrt(x^2+y^2+z^2) + lambda*(x^2+y^2-z^2-1)
stimmt das jetzt?
Gott ist das kompliziert unglücklich

Und was meinst du nun damit das auch der d^2 minimiert werden kann?
Kanns sein das aufgrund der tatsache das der abstand immer positiv ist, ich ihn auch ruhig quadrieren kann und damit immernoch das minimum erhalte? also kurz: ich brauche die wurzel gar nicht? SOdass als (hoffentlich) letzte formel dann
L=x^2+y^2+z^2 + lambda*(x^2+y^2-z^2-1)
herauskommt? und die nun (sogar sehr einfach) pariell ableitbar ist.

09.01.2006, 21:13

JochenX

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Zitat:

L=sqrt(x^2+y^2+z^2) + lambda*(x^2+y^2-z^2-1)

faaaast, das ist doch nicht deine d-funktion

Zitat:

die abstandsfunktion ist dann sqrt[(x-1)^2+(y+1)^2+z^2]

da steht sie doch richtig.....

das mit dem quadrieren ist prinzipiell richtig

09.01.2006, 21:32

Lambrina

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damn, ok nun aber
L=[(x-1)^2+(y+1)^2+z^2] + lambda*(x^2+y^2-z^2-1)

danke VIELMALS, alleine hätt ich das nicht gepackt, hab mich einfach daran festgebissen das ich nach z auflösen muss und das die rotationshyperboloiden funktion meine hauptfunktion ist.

thx MUCH

09.01.2006, 21:40

JochenX

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jo, mit latex sähe das natürlich noch mal viel schöner aus

$\begin{eqnarray*} L(x,y,z, \lambda)=[(x-1)^2+(y+1)^2+z^2] + \lambda*(x^2+y^2-z^2-1) \end{eqnarray*}$

das war eigentlich der einfache teil Big Laugh

jetzt gehts ans rechnen; partielle ableitungen =0 setzen und hoffen, dass ein anständiges (heißt leicht lösbares) gleichungssystem rauskommt

viel spaß dabei und gern geschehen!

10.01.2006, 14:04

Leopold

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Ich erinnere mich, wenn es auch schon lange her ist, an eine Analysis-Übung, in der der Assistent erklärte, er kenne keine Aufgabe zur Lagrangeschen Multiplikatorregel, die mit einfacheren Methoden nicht mindestens ebenso schnell lösbar sei. Bis zum Beweis des Gegenteils behaupte ich: Die Lagrangesche Multiplikatorregel ist so unnötig wie ein Kropf.

Für das Hyperboloid gilt ja

$\begin{eqnarray*} z^2 = x^2 + y^2 - 1 \end{eqnarray*}$

so daß $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \geq 1 \end{eqnarray*}$ sein muß. Andererseits kann man im Abstandsquadrat

$\begin{eqnarray*} \left( x - 1 \right)^2 + \left( y + 1 \right)^2 + z^2 \end{eqnarray*}$

jetzt $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ substituieren, so daß schließlich die quadratische Form

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \left( x - 1 \right)^2 + \left( y + 1 \right)^2 + x^2 + y^2 - 1 = 2 \left( x^2 + y^2 \right) - 2(x - y) + 1 \, , \ \ x^2 + y^2 \geq 1 \end{eqnarray*}$

zu minimieren ist. Das geht entweder mit Hauptachsentransformation oder mit Methoden der Differentialrechnung. Eine einfache Rechnung zeigt aber, daß der Gradient von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \geq 1 \end{eqnarray*}$ niemals 0 wird, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also kein lokales Minimum im Innern des Definitionsbereichs besitzt. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als stetige Funktion mit positiven Werten aber ein globales Minimum besitzen muß, kann das nur auf dem Rand angenommen werden. Es gilt mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ . Substituiert man diesen Term in $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ , so bedeutet das, $\begin{eqnarray*} -2x + 2y + 3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ zu minimieren. Setzt man also

$\begin{eqnarray*} x = \cos{t} \, , \ \ y = \sin{t} \end{eqnarray*}$

dann ist das Minimum der Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} h(t) = -2 \cos{t} + 2 \sin{t} + 3 \, , \ \ t \in [- \pi , \pi] \end{eqnarray*}$

zu bestimmen. Jetzt sind wir aber in der eindimensionalen Analysis angelangt. Mit dem gefundenen Wert $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , für den $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ minimal wird, kann man dann rückwärts $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ berechnen.

Übrigens befinden wir uns ja, seit wir $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ wissen, was $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ impliziert, in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene. Es geht also darum, den kürzesten Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} P(1,-1) \end{eqnarray*}$ zum Einheitskreis zu finden (die dritte Koordinate 0 habe ich gleich einmal wegoperiert). Und wie bestimmt man den zu $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nächstgelegenen Punkt auf dem Kreis rein geometrisch?

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