Gemischtes Integral

09.01.2006, 15:57

FrederikK

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Gemischtes Integral

Hi,

ich verzweifle grade an folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \int_{x}^{2x} \frac{e^{xt}}{t} dt \end{eqnarray*}$

Zunächstmal berechne ich also das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{x}^{2x} \frac{1}{t} \cdot e^{xt} dt = e^{x} \int_{x}^{2x} \frac{1}{t} \cdot e^{t} dt \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt schon parzielle Integration versucht, allerdings ist aus dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ nichts gescheites zu machen.
Ich habe ja entweder $\begin{eqnarray*} ln(t) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{t^2} \end{eqnarray*}$ im folgeintegral stehen.

Substitution habe ich leider nicht wirklich gut drauf, aber ich wüßte nicht ob des überhaupt etwas bringen würde!

Habt ihr evtl. einen kleinen Denkanstoß für mich parat?

Vielen Dank schonmal

Frederik

09.01.2006, 16:30

AD

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Mit gewöhnlichen Funktionen wird das nix. Aber damit:

http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html

09.01.2006, 16:40

thoroh

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RE: Gemischtes Integral

Zitat:

Original von FrederikK
Zunächstmal berechne ich also das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{x}^{2x} \frac{1}{t} \cdot e^{xt} dt = e^{x} \int_{x}^{2x} \frac{1}{t} \cdot e^{t} dt \end{eqnarray*}$

Warum kommt $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ vor das Integralzeichen?

lg
thoroh

09.01.2006, 17:02

AD

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Ja. da ist ein Fehler im Beitrag von FrederikK. Und jetzt, da ich mir die eigentliche Aufgabe durchgelesen habe (und nicht nur das letzte Integral):

Vergiss meinen Tipp von oben, es ist viel einfacher: Substituiere $\begin{eqnarray*} z=xt \end{eqnarray*}$ . smile

smile

09.01.2006, 20:21

FrederikK

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Hi,

erstmal danke für eure Tips.

Okay, bei der "Vereinfachung" habe ich wohl mal wieder einen Groben fehler hingelegt. :-(

Und leider bin ich auch mit den Regeln der Substitution nicht sogut vertraut, wie es vielleicht nötig wäre, denn ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} \int_x^{2x} \frac{e^{xt}}{t} dt \end{eqnarray*}$
mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z=xt \Rightarrow \frac{dz}{dt} = x \Leftrightarrow dt=\frac{dz}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int \frac{e^z}{t} \frac{dz}{x} \end{eqnarray*}$

Was mich irgendwie nicht weiterbringt oder?

Frederik

09.01.2006, 20:28

Mathespezialschüler

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Du musst natürlich alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ 's ersetzen und die Grenzen ebenfalls verändern.

Gruß MSS

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09.01.2006, 20:31

FrederikK

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und womit muss ich das t von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ ersetzen?

Und bitte nochmal schauen, ob ich überhaupt richtig Substituiere. Bin da wie gesagt eher ungeschickt.

09.01.2006, 20:32

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} z=xt <=> t=\frac{z}{x} \end{eqnarray*}$

mfG 20

09.01.2006, 20:37

FrederikK

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also:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^z \cdot x}{z} \frac{dz}{x} = \int \frac{e^z}{z} dz \end{eqnarray*}$

Grenzen ziehe ich dann bei gelegenheit mal nach :-)

Aber um erlich zu sein, kann ich damit immernoch nichts anfangen!

EDIT: Das wäre ja genau das Integral, zu dem Arthur Dent den Link gepostet hat. ABER: Verstehen tue ich es nicht!?!

09.01.2006, 20:43

Mathespezialschüler

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Nun, wenn $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} t_0=x \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} t_1=2x \end{eqnarray*}$ läuft, dann geht natürlich $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z_0=xt_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} z_1=xt_1 \end{eqnarray*}$ . Außerdem besitzt die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{\operatorname e^z}{z} \end{eqnarray*}$

nach dem Hauptsatz eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , wende nun den anderen Teil des Hauptsatzes an. Anschließend kannst du leicht mit der Kettenregel ableiten.
Der Link von Arthur ist, wie er selbst schon gesagt hat, nicht mehr relevant.

Gruß MSS

09.01.2006, 20:56

FrederikK

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Mit welchem Hauptsatz soll ich die Stammfunktion bilden?
Und ich denke schon, dass der Link von Arthur für dieses Integral richtig ist, denn der Bronstein behauptet auch, das es ein unendliches Integral ist!

Wobei ich mir nicht vorstellen kann, dass das wirklich so gemeint ist, da wir das nichtmal ansatzweise in der Vorlesung besprochen haben.

Frederik

09.01.2006, 21:00

thoroh

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Vom "Bilden der Stammfunktion" war gar nicht die Rede.

lg
thoroh

09.01.2006, 23:06

AD

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Führe doch erstmal die Substitution zu Ende, inklusive der Grenzen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{x}^{2x} ~ \frac{e^{xt}}{t} ~ \mathrm{d}t = \int\limits_{x^2}^{2x^2} ~ \frac{e^{z}}{z} ~ \mathrm{d}z \end{eqnarray*}$

Und dann befolge den Rat von MSS: Betrachte irgendeine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \frac{e^z}{z} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du weiter folgern

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \int\limits_{x}^{2x} ~ \frac{e^{xt}}{t} ~ \mathrm{d}t \right] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ F(2x^2)-F(x^2) \right] \end{eqnarray*}$

Und jetzt Kettenregel. Dann wirst du feststellen, dass du gar keine explizite Darstellung von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ brauchst!!!

09.01.2006, 23:34

FrederikK

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Nehmts mir nicht übel, aber ich verstehe immernochnicht, wie ich da die Kettenregel anwenden soll. :-(

Vielleicht kannst du mir das ja nochmal für etwas langsamere Köpfe erklären?

Frederik

09.01.2006, 23:39

AD

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Also die Kettenregel solltest du aber kennen: $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Und jetzt einmal mit $\begin{eqnarray*} g(x)=2x^2 \end{eqnarray*}$ und ein zweites mal mit $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ angewandt.

Und $\begin{eqnarray*} F(z) \end{eqnarray*}$ ist eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{e^z}{z} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} F'(z)=\ldots \end{eqnarray*}$

Wäre schön, wenn du dich nach 90% der Aufgabe wenigstens an den letzten 10% beteiligen könntest.

09.01.2006, 23:53

FrederikK

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Na ja... kennen tue is die Kettenregel natürlich, doch fehlt mir bei dieser Aufgabe völlig das Verständniss wie ich damit weiterkomme.

Also:

$\begin{eqnarray*} F'(z) = \frac{e^z}{z} \end{eqnarray*}$

Und
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [ F(2x^2)-F(x^2) \end{eqnarray*}$ ist dann also
$\begin{eqnarray*} =\frac{e^{2x^2} \cdot 4x}{2x^2} - \frac{e^{x^2} \cdot 2x}{x^2} \end{eqnarray*}$ ?????????????????

Frederik

@Arthur: Du weißt gar nicht wie glücklich ich wäre, wenn ich mich an mehr als 10% beteiligen könnte!

10.01.2006, 00:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von FrederikK
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [ F(2x^2)-F(x^2) \end{eqnarray*}$ ist dann also
$\begin{eqnarray*} =\frac{e^{2x^2} \cdot 4x}{2x^2} - \frac{e^{x^2} \cdot 2x}{x^2} \end{eqnarray*}$

Jaaaaaaaaaaa! Freude

Freude

Da kannst du aber noch ein bisschen kürzen und zusammenfassen.

Gruß MSS

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