Abstand von 2 Geraden |
| 09.01.2006, 19:33 | sini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Abstand von 2 Geraden g: x=(1/9/8)+t(1/-2/2) und h: x=(-2/-2/-3)+t(6/-1/2), von denen ich den Abstand berechnen soll. Zuerst muss ich jedoch wissen, ob die beiden Geraden parallel oder windschief sind. Denn der Lösungsweg ist doch verschieden, oder? Woran erkenne ich das? Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig also sind die Geraden infolgedessen windschief? Reicht das? Vielen Dank im voraus! 
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| 09.01.2006, 19:37 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Abstand von 2 Geraden
Nein, denn sie könnten sich auch schneiden. Also musst du die beiden Geraden gleichsetzen (mit unterschiedlichen Laufvariablen, z.B. s und t) und zeigen, dass es kein Paar (s, t) gibt, das das entstehende GLS löst. Was die Abstandsberechnung angeht: Kennt ihr die Normalenform der Ebene? |
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| 09.01.2006, 19:38 | -felix- | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn die Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig sind, dann gibt es immer noch zwei Fälle, wie diese gegenseitig liegen können. Einer davon ist windschief, der andere, dass sie sich schneiden. Du musst also noch nachweisen, dass sie sich nicht schneiden, um nachgewiesen haben, dass sie windschief sind. Für die Abstandsberechnung ist die Frage, ob sie echt windschief sind, oder sich schneiden aber unwichtig sind. Du kannst also sagen, die Geraden sind nicht parallel und kannst dann deine bekannte Formel für windschiefe Geraden anwenden. edit: zu spät |
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| 09.01.2006, 20:35 | sini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
super danke! (haben bei der abstandsberechnung nie nachgewiesen ob sich die geraden evtl schneiden könnten...) also reicht es, wenn ich anhand der richtungsvektoren feststelle, ob die entweder parallel oder windschief sind? ja, normalenform der ebene kennen wir (und hessische nf auch) bei den geraden berechnen wir den abstand dann über eine hilfsebene (richtungsvektor der geraden = normalenvektor der hilfsebene, usw.) grüße! |
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| 09.01.2006, 21:15 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann kommt einfach null als Abstand heraus.
Nein, über die Richtungsvektoren kannst du nur zwischen den Fällen
Das ist eigentlich die einfachste Möglichkeit. |
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| 09.01.2006, 21:50 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig, daher sind die beiden Geraden nicht parallel. Wir bilden zunächst den Vektor, der die beiden Anfangspunkte verbindet und dann den normierten Normalvektor (Länge 1) der beiden Richtungsvektoren*. Das skalare Produktes dieser beiden Vektoren ist der gesuchte Abstand. Ist dieses Null, schneiden die Geraden einander. * Voraussetzung: Kenntnis des Vektorproduktes Gr mYthos |
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| 09.01.2006, 22:02 | sini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay, jetzt bin ich verwirrt. 
also wähle ich den lösungsweg um den abstand zweier windschiefer geraden herauszufinden; mehr haben wir in der schule auch nie gemacht. wollte eigentlich nur wissen, woran ich erkenne ob die geraden parallel oder windschief sind. mehr muss ich bei der abstandsberechnung (wenn nicht verlangt) doch auch nicht wissen, oder? wenn ich feststelle, dass die geraden windschief sind, wähle ich einen anderen lösungsweg... also kann ich anhand der richtungsvektoren festellen, ob die geraden windschief sind oder eben nicht? sind die rv linear unabhängig sind die geraden windschief (oder schneiden sich, was ja für die aufgabe nicht unbedingt relevant ist), sind die rv linear abhängig sind die geraden parallel (oder identisch)?! |
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| 09.01.2006, 22:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, ich wollte dich wirklich nicht verwirren, sorry! Es gilt genau das, was sqrt(2) so ausführlich dargelegt hat! Meine Antwort bezieht sich eigentlich nur auf (eine elegante) Methode, den Abstand zweier windschiefer Geraden zu ermitteln.... [Edit:] Eines kannst du sofort entscheiden: Wenn die Richtungsvektoren lin. abh. sind, sind die Geraden entweder parallel oder identisch. Sind die Richtungsvektoren lin. unabh., so können die Geraden entweder schneidend oder windschief sein. Also stellt die lin. Unabhängigkeit eine Voraussetzung dafür dar, dass die Geraden windschief sind. Gr mYthos |
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| 09.01.2006, 22:34 | sini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
alles klar, vielen dank für die hilfe!
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