Picard- Lindelöf

09.01.2006, 19:33

Buschi

Picard- Lindelöf

gegeben ist folgende DGL:

$\begin{eqnarray*} y'=2*x*y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)=y_0 \end{eqnarray*}$

Dazu haben wir folgende Picard Iteration aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} y_1(x)=y_0+\int_{0}^{x}~2*t*y_0~dt \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} y_0+[2*y_0*t^2/2]_{0}^x \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} y_0*(1+x^2) \end{eqnarray*}$

wo kommt bitte dieses $\begin{eqnarray*} y_0*(1+x^2) \end{eqnarray*}$ her?

Die algemeine Formel der Iteration lautet doch:

$\begin{eqnarray*} y_(x)=y_0+ \int_{0}^{x}~f(t;y_0(t))~dx \end{eqnarray*}$

09.01.2006, 21:56

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RE: Picard- Lindelöf

Zitat:

Original von Buschi
$\begin{eqnarray*} y_1(x)=y_0+\int_{0}^{x}~2*t*y_0~dt \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} y_0+[2*y_0*t^2/2]_{0}^x \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} y_0*(1+x^2) \end{eqnarray*}$

wo kommt bitte dieses $\begin{eqnarray*} y_0*(1+x^2) \end{eqnarray*}$ her?

Wohin bitte ist das fehlende Gleichheitszeichen verschwunden?

$\begin{eqnarray*} y_1(x) = y_0+\int\limits_{0}^{x}~2ty_0 ~ \mathrm{d}t = y_0 + \left[ 2y_0\cdot\frac{t^2}{2} \right]_0^x = y_0(1+x^2) \end{eqnarray*}$

10.01.2006, 09:08

Buschi

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Danke, das erklärt einiges!

10.01.2006, 10:52

Buschi

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ok neues Beispiel:

$\begin{eqnarray*} y'=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

habe $\begin{eqnarray*} y_1(t)=1/3x3+x+1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y_2(t)=1/63x^7+2/15x^5+1/6x^4+2/3x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

raus.

Jetzt muss ich doch schauen was für eine Reihe das ist und wogegen diese konvergiert. dann hätte ich die eine Lösung zu meiner DGL.

Nur was für eine Reihe ist das? Bzw. wie muss ich vorgehen wenn das keine bekannte Reihe ist?

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