potenzreihen und summen

10.01.2006, 13:40

razer

potenzreihen und summen

hallo!
mir fehlt bei folgender aufgabe völlig der durchblick, hab nichtmal irgendeinen ansatz,bitte um hilfe:

Bestimmen Sie mit Hilfe von Potenzreihen die Summe
$\begin{eqnarray*} s=\frac{1}{1*2} - \frac{1}{2*2^2} +\frac{1}{3*2^3} - \frac{1}{4*2^4} +..... \end{eqnarray*}$

danke,razer

10.01.2006, 13:44

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst also mit deinem Wissen über Potenzreihen den Wert der Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i+2^i} \end{eqnarray*}$ bestimmen?

10.01.2006, 13:47

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

das mit der reihe hört sich gut an und kann durchaus sein smile

razer

10.01.2006, 14:23

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Ein Schreibfehler ist schon noch drin. Es soll doch um

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{i+1}}{i\cdot 2^i} \end{eqnarray*}$

gehen, richtig!? Nun, berechne einmal in "geschlossener Form" die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{x^i}{i} \end{eqnarray*}$ .

Dazu ist es nützlich, zu wissen, dass Potenzreihen gliedweise differenziert und integriert werden dürfen.

Gruß MSS

10.01.2006, 18:23

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

ja,stimmt.....
aber was genau muss ich da berechnen bzw. wie geh ich da vor?
danke und gruß,razer

10.01.2006, 18:44

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Differenziere die Reihe einmal gliedweise! Die entstehende Reihe sollte dir bekannt sein und du solltest den Wert in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angeben können. Diese Funktion, die jedem $\begin{eqnarray*} x\in (-1,1) \end{eqnarray*}$ (Konvergenzbereich der differenzierten Reihe) den Wert zuordnet, sei einfach mal $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Anschließend kannst du Integrieren, Integrationskonstante dabei nicht vergessen! Dann hast du:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{x^i}{i}=F(x)+C \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist. $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kannst du durch Einsetzen eines speziellen Wertes berechnen.

Gruß MSS

15.01.2006, 21:44

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal Danke für deine antwort...
ich weiß, dass wir dieses thema in der vorlesung gemacht haben, nur ist es irgendwie anscheinend total an mir vorbeigezogen, sodass ich mit deinen tipps kaum was anfangen kann und auch aus meiner mitschrift nicht schlau werde..
ich kenn, verstehe und akzeptiere selbstverstädnlich das prinzip des matheboards...hat irgendwer eventuell einen link, wo ausführliches über potenzreihen steht??
danke und gruß!

15.01.2006, 21:50

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{i}x^i \end{eqnarray*}$ . Das ist ein Polynom und das Ableiten sollte kein Problem sein. Augenzwinkern

Gruß MSS

15.01.2006, 22:00

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine antwort!
also wenn ich das ableite,komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} g'(x)= x^{i-1} \end{eqnarray*}$
aber irgendwie bringt mich das nicht weiter...hab ich da was falsch gemacht?
danke und gruß,razer

15.01.2006, 22:04

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist korrekt. Daraus folgt für $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{i=1}^{\infty}~\frac{x^i}{i}\right)'=\sum_{i=1}^{\infty}~\left(\frac{x^i}{i}\right)'=\sum_{i=1}^{\infty}~x^{i-1}=\sum_{i=0}^{\infty}~x^i \end{eqnarray*}$ .

Erinnert dich die letzte Reihe nicht an etwas? Kannst du den Grenzwert in geschlossener Form schreiben?

Gruß MSS

15.01.2006, 22:13

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

naja erinnern.....
da kommt einfach
$\begin{eqnarray*} 1+x+x^{2}+ x^{3} .... \end{eqnarray*}$
heraus
und was meinst du mit grenzwert in "geschlossener" form ausrechnen?
lg razer

15.01.2006, 22:14

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine geometrische Reihe. Davon kannst du doch den Grenzwert berechnen!

Gruß MSS

15.01.2006, 22:18

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt
der ist null wenn x zwischen 1 und -1 liegt!?
razer

15.01.2006, 22:33

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist quatsch. Das sollte dir selbst auffallen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty}~x^i=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

bzw. mit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , wie es bekannter ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

sagt dir nichts?

Gruß MSS

15.01.2006, 22:37

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

doch das steht sogar in meinem ergänzungsskriptum....
daneben steht in (-1,1)
aber wie du siehst, komm ich bei dem ganzen irgendwie nicht ganz klar....
mir fehlt da der durchblick und hab keine ahnung wie ich da weiterkomme...
gruß!

15.01.2006, 22:41

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut. Auf jeden Fall hast du jetzt:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{i=1}^{\infty}~\frac{x^i}{i}\right)'=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ erhältst du dann, wie oben gesagt, durch Integrieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{x^i}{i}=F(x)+C \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist dabei eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kannst du, wie gesagt, durch Einsetzen eines speziellen Wertes berechnen.

Gruß MSS

15.01.2006, 22:45

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

ok die stammfunktion ist
-ln(x-1) + C
stimmt das?
gruß!

und welchen speziellen wert muss ich hier einsetzen?kann ich auf den draufkommen? smile

gute nacht,razer.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

15.01.2006, 23:02

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, deine Stammfunktion ist für $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert! Eine Stammfunktion ist

$\begin{eqnarray*} F(x)=-\ln(1-x)+C \end{eqnarray*}$ .

Für die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ solltest du einmal $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten einsetzen!

Gruß MSS

16.01.2006, 07:26

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie bist du auf x=0 gekommen? hast du das einfach gesehn oder weil das ne nullstelle vom LN ist?
also ich setz mal ein,unglücklicherweise weiß ich nicht wo, aber ich versuchs mal smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty ~ 0^{i} = - LN(1)+C \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} F(0) = - LN(1)+C \end{eqnarray*}$
DANKE!

16.01.2006, 14:17

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Darauf bin ich gekommen, weil ich das so bzw. so ähnlich schon sehr oft woanders gesehen habe. Man nimmt sich einen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Wert, für den der Reihenwert bekannt ist oder sehr einfach berechnet werden kann. Hier z.B. hat man $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~0^i \end{eqnarray*}$ . Was kommt da wohl raus? Was $\begin{eqnarray*} \ln 1 \end{eqnarray*}$ ist, solltest du natürlich auch wissen. Dann hast du diese Gleichung und bekommst ganz direkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

16.01.2006, 18:40

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

also
$\begin{eqnarray*} 0=0+C \end{eqnarray*}$
also C=0 oder?
Mfg razer

16.01.2006, 22:49

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Gruß MSS

17.01.2006, 11:29

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

ok und was mach ich jetzt?
das war doch nicht die gesuchte reihe oder?
und wie siehts mit dem "wert" aus?ist mit "wert" der grenzwert gemeint?
Danke und Gruß,razer.

17.01.2006, 14:59

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast etwas für beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ bewiesen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{x^i}{i} \ = \ - \ln{(1-x)} \end{eqnarray*}$

Und wer hindert dich daran, jetzt speziell $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einzusetzen? Und - man darf Gleichungen auch mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren.

17.01.2006, 15:30

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

ok wenn ich -1/2 einsetze, dann kommt sogar das richtige heraus, nämlich LN(3/2)
Also damit ich das richtig verstehe....
ich hab meine reihe gegeben... $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{i+1}}{i\cdot 2^i} \end{eqnarray*}$
dann such ich quasi eine vergleichsreihe mit x(statt -1/2 wie es bei gegeben ist) $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{x^i}{i} \end{eqnarray*}$
und differenzier diese gliedweise. dann bekomm ich ne neue reihe heraus $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{i=1}^{\infty}~\frac{x^i}{i}\right)'=\sum_{i=1}^{\infty}~\left(\frac{x^i}{i}\right)'=\sum_{i=1}^{\infty}~x^{i-1}=\sum_{i=0}^{\infty}~x^i. \end{eqnarray*}$
und berechne von der den grenzwert...nun hab ich den grenzwert der differenzierten vergleichsreihe und muss diesen integrieren, um den grenzwert der vergleichsreihe zu bekommen....und letztendlich substituier ich für mein x zurück und hab den grenzwert der gesuchten reihe.....

was ich noch nicht ganz verstehe:
der wert einer reihe ist deren grenzwert oder?
ist es egal, wenn bei meiner gegeben reihe "hoch i +1" steht und bei meiner vergleichsreihe nur "hoch i"?
und wieso ist der grenzwert der geometrischen reihe so
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty}~x^i=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

vielen dank,razer!

18.01.2006, 11:01

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

wir sind eh schon sehr weit, vl könntet ihr mir noch bei meinen offenen fragen weiterhelfen....
danke und gruß,razer

18.01.2006, 19:38

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Also. Den ersten Teil hast du richtig verstanden. Allerdings würde ich das nicht "Vergleichsreihe" nennen. Man guckt halt, ob es ein spezieller Wert einer bestimmten Potenzreihe ist, deren Wert man für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ leicht bestimmen kann.

Zitat:

Original von razer
ist es egal, wenn bei meiner gegeben reihe "hoch i +1" steht und bei meiner vergleichsreihe nur "hoch i"?
und wieso ist der grenzwert der geometrischen reihe so
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty}~x^i=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Natürlich ist es nicht egal, ob $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} i+1 \end{eqnarray*}$ steht, aber das lässt sich leicht korrigieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{i+1}}{i\cdot 2^i}=-\sum_{i=1}^{\infty}~\frac{(-1)^i}{i\cdot 2^i} \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du einsetzen!
Wie der Grenzwert der geometrischen Reihe zustandekommt, solltest du eigentlich wissen!! Siehe hier mit $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

18.01.2006, 20:24

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

aber von anfang an kann ich trotzdem nicht -1/2 zu x substituieren oder?
das wäre nämlich perfekt....
razer

18.01.2006, 20:35

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es sehr unverschämt, dass du, nachdem du hier keine Antwort erhalten hast, einfach in einem anderen Forum dieselbe Frage (siehe hier) stellst, ohne das hier zu erwähnen! Am Ende strenge ich mich hier noch mühevoll an, obwohl alle Fragen möglicherweise schon geklärt sind. Forum Kloppe

Zu deiner letzten Frage: Nein, natürlich geht das nicht! Dann hast du doch gar keine Variable mehr, nach der du ableiten kannst. Aber du kannst einfach am Ende $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen und erhältst doch deinen Wert! Der Weg ist nicht weniger "perfekt".

Gruß MSS

18.01.2006, 20:40

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, da hast du recht...hab gedacht, du würdest mir nicht mehr antworten und du warst schließlich fast der einzige,der mir geantwortet hat...
nein, wie du siehst, waren noch nicht alle fragen geklärt....denn was ich einfach nicht verstehe ist,warum ich "einfach" -1/2 einsetzen kann...
jedenfalls danke für deine hilfe und sorry, wird nicht nochmal vorkommen traurig

gruß,razer.

18.01.2006, 20:54

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war den ganzen tag nicht zu Hause, das darf doch auch mal sein oder? Dankeschön. Augenzwinkern

Warum solltest du $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nicht einfach einsetzen können? Ich kann es dir nicht besser erklären als Leopold oben. Also: Was hindert dich daran?

Gruß MSS

19.01.2006, 08:32

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich darfst du das smile

ja und warum kann ich zB nicht 1/2 einsetzen? oder 1?
dann hat das ganze also mehrere lösungen....?
razer

19.01.2006, 12:52

razer

Auf diesen Beitrag antworten »

hey mss....
hab gerade alles gecheckt und das ohne die hilfe eines anderen boards! smile

vielen vielen dank für deine hilfe und nochmal sry! Augenzwinkern

bis bald,Razer.

19.01.2006, 13:58

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön! Freude

Ums nochmal abzurunden und dir eine Bestätigung zu geben: Du darfst auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen, nur bringt dir das nichts, weil dieser Reihenwert dann nichts mit der in der Aufgabe geforderten Reihe zu tun hat. Soll heißen: Nur, wenn du $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzt, kommst du auf die in der Aufgabe geforderte Reihe.

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

potenzreihen und summen

Verwandte Themen