Inverse einer Potenzreihe |
10.01.2006, 15:52 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Inverse einer Potenzreihe wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass eine Potenzreihe mit wenn man das Inverse bildet, also: wieder eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius ergibt... jetzt haben wir solche Reihen gegeben: a) b) und sollen von den Potenzreihen die dadurch dargestellt werden die ersten 5 Koeffizienten berechnen... wie soll ich an die Aufgabe rangehen? die Reihe ( mit den Bezeichnungen von oben ) sieht ja so aus: hier stört mich schonmal das 2n - können da Probleme auftreten, weil das nicht wie bei einer "normalen" Potenzreihe nur n ist? |
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10.01.2006, 16:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Zähler muss stehen. Bei der Division von Potenzreihen macht man im Allgemeinen den Ansatz . Multipliziere diese Gleichung einfach mit der Potenzreihe im Nenner. Das Produkt von Potenzreihen ist wieder eine Potenzreihe und deren Koeffizienten ergeben sich aus der Cauchyschen Multiplikation zweier absolut konvergenter Reihen. Daraus erhältst du durch Koeffizientenvergleich (dabei wird der Identitätssatz eingesetzt!!) ein "unendlich langes" GLS, in dem du nacheinander die erste Gleichung nach , die zweite dann nach usw. umstellen kannst. Dabei wird z.B. zur Berechnung von der Koeffizient gebraucht. Die Koeffizienten erhält man also rekursiv. Gruß MSS |
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10.01.2006, 18:27 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
heißt das ich muss mir eine Potenzreihe nehmen, die den Wert 1 hat und dann Komponentenweise mit den Koeffizienten von vergleichen? |
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10.01.2006, 18:46 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Dazu musst du, wie gesagt, erstmal das Cauchyprodukt bilden. Übrigens sieht die Potenzreihe, die überall den Wert hat, einfach so aus: . D.h. alle Koeffizienten außer dem ersten sind . Gruß MSS |
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11.01.2006, 15:00 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, für mein zweites Bsp. hab ich das mal gemacht und hoffe, dass es auch geklappt hat... meine Cauchy'sche Produktreihe ist ja: sei ( sind ja meine Koeffizienten d.h. ich muss jetzt mit deiner Reihe einen Koeffizientenvergleich machen, also muss sein: danach muss sein: usw. hab ich das so richtig gemacht??? und nächstes Problem ist die Reihe bei a)... da sieht die Cauchyreihe ja so aus: mit durch das k im Exponenten bei z kann ich das doch aber nicht vor die Summe ziehen und somit auch nicht die Koeffizienten wirklich unabhängig machen oder? ich muss das so umtauschen dass da eine Summe mit Koeffizienten und dann steht - erst dann kann ich Koeffizienten mit der 1-Reihe machen oder? |
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11.01.2006, 15:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die zweite hast du richtig gemacht. Gib am besten deine Ergebnisse nochmal an. Man kann sich ja immer mal verrrechnen. Zu a): Auch Reihen der Form sind ganz "normale" Potenzreihen. Die kannst du nämlich so schreiben: mit . edit: Es muss . heißen, siehe unten. Jetzt könntest du das also einfach mit dieser Reihe machen. Es geht aber auch einfacher: Sei . Dann gilt für alle aus dem Konvergenzintervall. Für gilt dann natürlich dasselbe. Damit ist die Funktion , genauso wie , gerade. Dann sind aber in der Potenzreihedarstellung alle . Erinnere dich an den anderen Thread! D.h., du kannst von Anfang an direkt ansetzen: . Und dann funktioniert das auch wieder mit dem Cauchyprodukt. Gruß MSS |
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11.01.2006, 15:34 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke - werd ich mal versuchen... meine restlichen Ergebnisse sind: |
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11.01.2006, 15:56 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
für die zweite habe ich dann raus: danke für die Hilfe... |
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11.01.2006, 16:10 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei b) habe ich dasselbe bis auf den letzten Koeffizienten. Da habe ich: . Bei a) habe ich dieselben Koeffizienten. Gruß MSS |
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11.01.2006, 18:33 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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11.01.2006, 18:38 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh ja, das ist richtig. Danke. Gruß MSS |
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12.01.2006, 09:59 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei sieht es bei mir so aus: wenn du die Werte vorher auch hast müsste es ja so stimmen... |
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12.01.2006, 21:38 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie kommst du auf deine erste Zeile? Oben sah die noch etwas anders aus:
Gruß MSS |
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12.01.2006, 22:47 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah - ich war bei der falschen Reihe... ne hab mich beim letzten wirklich verrechnet - hab jetzt das gleiche raus wie du! |
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