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11.01.2006, 18:29

cAiL

Dgl

Hi, mit folgender DGL habe ich probleme:

y'' - 1/2 y' - 3/2 y = 4x² - x

lösen sie die zugehörige dgl.
und
welche lösungskurve der dgl hat bei y(0)= -2 einen extremwert?

das ist eine alte abituraufgabe einer lk-mathe-abiklausur und ich bin gerade am wiederholen und komme damit nicht klar.

in meinen aufzeichnungen finde ich einen weg über eine gewisse Charakteristische Gleichung $\begin{eqnarray*} \alpha^2 e^{\alpha x} - \frac{1}{2} \alpha e^{\alpha x} - \frac{3}{2} e^{\alpha x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha 1/2 = \frac{1}{4} \pm \sqrt{23}i \end{eqnarray*}$

so und damit weiss ich nichts anzufangen. kann mir jemand bei der lösung dieser aufgabe behilflich sein bitte?
mfg

11.01.2006, 18:40

Ben Sisko

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Verschoben

11.01.2006, 18:43

Ahasver

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so, jetzt habe ich die zugangsdaten zu meinem alten account hier wiedergefunden. sry fuer das posten ins falsche forum.
ein kleines edit: bei der charakteristischen gleichung muss es am ende ... -3/2 = 0 heissen ohne das e^x
Hab's rausgenommen. Ben
und wieder drin. siehe unten Big Laugh

11.01.2006, 18:49

iammrvip

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RE: Dgl

Zitat:

Original von cAiL
in meinen aufzeichnungen finde ich einen weg über eine gewisse Charakteristische Gleichung $\begin{eqnarray*} \alpha^2 e^{\alpha x} - \frac{1}{2} \alpha e^{\alpha x} - \frac{3}{2} e^{\alpha x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha 1/2 = \frac{1}{4} \pm \sqrt{23}i \end{eqnarray*}$

Hiho

Alles richtig überlegt smile

Nur hast du die quadratische Gleichung falsch gelöst.

$\begin{eqnarray*} \alpha^2 - \frac{1}{2} \alpha - \frac{3}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Du kannst ruhig mit der Lösungformel rangehn.

mit $\begin{eqnarray*} x^2 + px + q &=& 0 \\ \alpha_{1/2} &=& -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \end{eqnarray*}$

So taucht das kannst du doch auch noch das $\begin{eqnarray*} e^{\alpha x} \end{eqnarray*}$ ausklammern und "vernachlässigen", da $\begin{eqnarray*} e^{\alpha x} > 0 \forall x,\alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

11.01.2006, 18:55

Ahasver

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ja ich habe die abc formel angewandt und da ein minus übersehen.
a1= -1 und a2= 3/2

ja aber wie gehts nun weiter und was habe ich davon? smile

11.01.2006, 18:55

iammrvip

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Zitat:

Original von Ahasver
ein kleines edit: bei der charakteristischen gleichung muss es am ende ... -3/2 = 0 heissen ohne das e^x
Hab's rausgenommen. Ben

Nein es ist richtig.

Auf diese Gleichnung kommt man doch durch den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y(x) = e^{\alpha x} \end{eqnarray*}$

durch Einsetzen erhält man die Gleichung, die cAiL erst geschrieben hatte.

Genauer noch: $\begin{eqnarray*} y(x) = Ce^{\alpha x} \end{eqnarray*}$

11.01.2006, 18:59

iammrvip

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Zitat:

Original von Ahasver
ja ich habe die abc formel angewandt und da ein minus übersehen.
a1= -1 und a2= 3/2

ja aber wie gehts nun weiter und was habe ich davon? smile

Da du den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = Ce^{\alpha x} \end{eqnarray*}$ gemacht hast, musst du nun einfach die beiden Werte für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Dann erhälst du zwei Lösungen der homogene DGL.

Noch ein Hinweis: Die Summe aus den Teillösungen einer DGL ist immer ihre allgemeine Lösung.

11.01.2006, 19:02

Ben Sisko

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Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

Original von Ahasver
ein kleines edit: bei der charakteristischen gleichung muss es am ende ... -3/2 = 0 heissen ohne das e^x
Hab's rausgenommen. Ben

Nein es ist richtig.

Sorry, das war "Arbeit auf Befehl", hab gar nicht genau hingeguckt, wollte Ahasver nur helfen, da er sein Gast-Posting ja nicht editieren kann.

Gruß vom Ben

11.01.2006, 19:03

iammrvip

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Sorry, das war "Arbeit auf Befehl", hab gar nicht genau hingeguckt, wollte Ahasver nur helfen, da er sein Gast-Posting ja nicht editieren kann.

Gruß vom Ben

Die Zeile von dir wollte ich gar nich mit zitieren unglücklich

11.01.2006, 19:12

Ahasver

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ahh, ich habe gerade noch ein blatt zur einführung zur lösung von dgl 2. ordnung gefunden.
man muss ja eine fallunterscheidung bzgl. des radikanten vornehmen, da der radikant allerdings positiv ist, ist es kein drama.
somit würde sich ergeben: $\begin{eqnarray*} y_{hom} = c_1 e^{-x}+c_2 e^{3x/2} \end{eqnarray*}$ smile

und was genau muss ich mit bei der zweiten teilaufgabe tun? ist sicherlich auch banal, aber ich habe gerade eine blockade Big Laugh

11.01.2006, 19:23

iammrvip

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Richtig!!! ^^

Jetzt musst du einen geeigneten Weg finden, um die inhomogene DGL zu lösen. Da ja ein wunderschönes Polynom auftritt, kann man z.B den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y(x) = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

machen.

Dann einfach einen Koeffizientenvergleich.

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