Metrischer Raum

11.01.2006, 19:08

Domm

Metrischer Raum

Hallo!

Ich habe eine Aufgabe bekommen, die ich an sich so wohl verstehe nur leider keine genaue Ahnung habe ob man es so machen kann und wie man es mathematisch genau aufschreibt...

Sei (X,d) ein metrischer Raum. Beweisen Sie die folgende Aussage:

Die Vereinigung endlich vieler agbeschlossenener Mengen ist ebenfalls abgeschlossen.

ich habe mir dazu nun überlegt, das man es ja so machen könnte:

Sei $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ eine konvergente Punktfolge mit $\begin{eqnarray*} x_k \in A u B \end{eqnarray*}$ . Diese besitzt eine Teilfolge, deren sämtliche Glieder in A liegen. Somit liegt der Grenzwert in A, der Grenzwert der Gesamtfolge auch und insbesondere in $\begin{eqnarray*} A u B \end{eqnarray*}$ .

Es soll Vereinigung von A und b heißen...

Ist mein Gedanke es so zu machen schon mal richtig oder liege ich ganz falsch??Und wie kann ich es mathematisch aufschreiben??

Über ne kleine Hilfe würde ich mich freuen....

MFG Domm

11.01.2006, 19:11

Mathespezialschüler

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Verschoben

Hallo!
Die Idee ist zwar gut, aber du hast einen wesentlichen Denkfehler drin.

Zitat:

Original von Domm
Sei $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ eine konvergente Punktfolge mit $\begin{eqnarray*} x_k \in A u B \end{eqnarray*}$ . Diese besitzt eine Teilfolge, deren sämtliche Glieder in A liegen.

Warum das? Das mit den Teilfolgen ist schon ein guter Ansatz. Du musst ihn aber noch ein bisschen ausdehnen.
Außerdem hast du jetzt ja erst mit der Vereinigung von zwei Mengen angefangen. Für eine größere endliche Anzahl von Mengen folgt es zwar daraus, allerdings solltest du noch dazu sagen, warum und wie genau das daraus folgt.

Gruß MSS

11.01.2006, 20:33

Domm

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Mhh..

Also habe noch mal in meiner Vorlesungsmitschrift nachgeschaut, hatten das schon aufgeschrieben und bewiesen, aber das verstehe ich nicht wirklich..

Wir haben da erst gesagt: Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist absgeschlossen

So unser Prof hat dann so weiter gemacht:

M abgeschlossen <=> CM offen (nach Definition)

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \bigcup_{\alpha \in I} M_{\alpha} \end{eqnarray*}$ , I endlich, ist abgeschlosssen, wenn $\begin{eqnarray*} M_{\alpha} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen
( Die Klammer gehört unter das Vereinigungszeichen)

$\begin{eqnarray*} C \left(\bigcup_{\alpha \in I}M_{\alpha}\right) = \bigcap_{\alpha \in I}CM_{\alpha} \end{eqnarray*}$ Bei dem zweiten muss das Zeichen andersrum!

Nun haben wir gesagt das die rechte Seite vom Gleichheitszeichen offen ist und deswegen ist die Bahauptung erfüllt.

Aber ist es wirklich das, was er man hier machen muss???

edit: Latex-Code verbessert. (MSS)

11.01.2006, 20:44

Mathespezialschüler

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Ja, das ist das, was man machen muss, wenn ihr es so definiert habt. Am Ende wird noch benutzt, dass der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen wieder offen ist. Das solltet ihr vorher natürlich bewiesen haben.

Gruß MSS

PS: Die Schreibweise mit dem $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ vor der Menge für die Komplementbildung kenne ich nicht. Ist die so üblich?

11.01.2006, 20:47

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Tja, es ist keine einfache Sache, einen Beweis aus einem engmaschig vernetzten Vorlesungsskript herauszulösen und umzuschreiben, so dass er auch einzeln überzeugend bestehen kann. Augenzwinkern

11.01.2006, 20:56

Domm

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Das ist gut, dann bin ich ja schon nen großes Stück weiter... Werde mir das noch mal mit den offenen Mengen anschauen, ob wir das schon bewiesen haben oder nicht und dann mal schauen..

Aber schon mal Danke fürs anschauen...

11.01.2006, 20:58

Mathespezialschüler

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Du bist ein großes Stück weiter, weil ich dir gesagt habe, dass dein Prof. alles richtig gemacht hat? Big Laugh

Gruß MSS

11.01.2006, 23:45

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
PS: Die Schreibweise mit dem $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ vor der Menge für die Komplementbildung kenne ich nicht. Ist die so üblich?

Es ist eine von mehreren üblichen Schreibweisen. Allerdings ist es dann meist kein ganz einfaches C, sondern es sieht ein bisschen von links und rechts platt gedrückt aus, keine Ahnung, wie man das nennt... Augenzwinkern

11.01.2006, 23:55

Mathespezialschüler

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Ok, danke Ben! Freude