Vollständige Induktion II

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BigOne Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion II
Hallöchen...da wir gerade an der Uni vollständige Induktionen behandeln, hätte ich auch mal 2 Aufgaben für Euch, bei welchen ich einfach nicht weiter weiß.
Und zwar soll man durch vollständige Induktion nach n beweisen:
a) 1^3+1^3+...+n^3=(1+2+3+....+n^2)
und
b) 2+4+8+....+2^n=2(2^n-1)

Hierbei muss ich die Induktionsverankerung- annahme, - behauptung und den Induktionsschritt vollziehen. Ich darf NUR die Inkuktion anwenden, keine geometrische Reihe oder soeetwas.

Danke für Eure Hilfe.

Grüßle aus Freiburg, Big One traurig
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

b) A(n+1) = 2 + 4 + 8 + ... + 2^n + 2^(n+1) = 2 * (2^n - 1) + 2^(n+1) = 2 * (2^n - 1 + 2^n) = 2 * (2^(n+1) - 1) qed.

a) verstehe ich nicht... ich nehme an die 1 beim zweiten Summanden ist nicht beabsichtigt. Dennoch kommts bei für z.B. n=3 nicht hin mit der Gleichung.

[Edit] Könnte es sein, dass die Gleichung vieleher so lauten muss:

1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n^2) - (a_n)^2

mit a_n=a_[n-1] + (n - 1) ? Kommt bei mir schon eher hin.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion
Die Formel in a) muß korrekt heißen:



Ein direkter Beweis mit vollständiger Induktion scheint mir kompliziert. Man kann jedoch die beiden folgenden Formeln als bekannt voraussetzen (oder jede mit vollständiger Induktion beweisen):




Und der Rest ist nicht mehr allzu schwer ...
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der oben gebastelten Formel von mir komme ich irgendwie nicht auf die explizite Form der Folge, der ich mich bedienen musste. Kann mir da jmd helfen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
explizite Form
Die Folge mit der Rekursion



beschreibt doch (im wesentlichen) nichts anderes als die Summe der ersten n-1 natürlichen Zahlen, also



Wer kennt die Geschichte vom kleinen Carl Friedrich Gauß?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: explizite Form
Zitat:
Original von Leopold
Wer kennt die Geschichte vom kleinen Carl Friedrich Gauß?


Sie ist u.a. hier kurz erwähnt.

Gruß vom Ben
 
 
BigOne Auf diesen Beitrag antworten »

Stehe immer noch auf dem Schlauch für die Aufgabe...
Hab zwar verstanden oder ehr es ist mir bewußt, dass ich die Gaußche Formel hierfür verwenden muss...also wir haben die wie folgt kennengelernt:
1+2+...+n=n(n+1)/2

Aber warum brauche ich diese für die Aufgabe und wie setze ich diese ein!!!

Bitte helft mir. Vielen lieben Dank1

Big One aus Freiburg traurig
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion
Beweise doch einfach die Formel für 1³+2³+3³+...+n³, die ich dir angegeben habe, durch Induktion und vergleiche mit der Gaußschen Formel. Fertig!
Mutza Auf diesen Beitrag antworten »

zu zeigen:


Induktionsanfang: (n=1)


Induktionsvoraussetzung:
Es existiert ein n für das gilt


Induktionsbehauptung:


Beweis:



Jetzt Induktionsvoraussetzung einsetzen:



Sei jetzt a=1+2+...+n









Für a kannst Du jetzt die Gaußsche Formel einsetzen, also a= 1+2+...+n= n(n+1)/2





Wäre sicherlich auch kürzer gegangen, aber so isser auf jeden Fall verständlich, oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das alles wurde doch im Workshop "Vollständige Induktion" von Deakandy bewiesen ("Induktionsaufgabe mit 2 Summen" (letzter Beweis)):

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=1533&sid=

Auch wenn er es am Ende relativ umständlich gemacht hat, da es auch ohne "von hinten aufrollen" geht. Das steht auch im Fragethread dazu (Seite 3, vorvorletzter Beitrag):

http://matheboard.de/thread.php?threadid=1550&sid=&threadview=0&hilight=&hilightuser=0&page=3
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