Bestimmen des Konverganzradius einer Potenzreihe

12.01.2006, 16:22

oldwise

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Bestimmen des Konverganzradius einer Potenzreihe

Es sei $\begin{eqnarray*} p>0 \end{eqnarray*}$ der Konvergenzradius der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \end{eqnarray*}$ . Welchen Konvergenzradius haben dann die Potenzreihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!} z^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n n! z^n \end{eqnarray*}$

Mir fehlt leider jeglicher Ansatz, da mir die Konvergenzkriterien (Quotienten-/Wurzelkriterium) nicht helfen. Oder ich weiß nicht in welcher Form sie mir hier helfen können.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

Was mich am meisten stört um etwas konkretes zu bestimmen, ist das da ein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit drin ist, über das ich nichts weiß...

12.01.2006, 17:09

Marcyman

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Du weißt etwas über a_n, nämlich das Wichtigste: lim sup |a_n|^(1/n) = p

12.01.2006, 18:18

oldwise

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sicher. und wie soll mir das helfen? verwirrt

verwirrt

12.01.2006, 18:24

JochenX

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Zitat:

Original von Marcyman
Du weißt etwas über a_n, nämlich das Wichtigste: lim sup |a_n|^(1/n) = p

=1/p, oder nicht?

@oldwise: berechne doch mal den neuen konvergenzradius von (a_n*n!), z.b. über das quotientenkriterium

benutze limsup (a_(n+1)/a_n)=1/p
überleg dir, was dann passiert, wenn du da noch (n+1)!/n! dazusteckst (bzw. für die erste das ganze eben andersrum machst)

12.01.2006, 19:06

Marcyman

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Stimmt, 1/p. Den Fehler mach ich oft genug Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Es lässt sich auch mit der Cauchy-Hadamard-Formel dann weiter rechnen: lim sup |a_n * 1/n!|^(1/n) lässt sich schnell berechnen, wenn man weiß dass (1/n!)^(1/n) --> 0

12.01.2006, 20:37

AD

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Zitat:

Original von LOED
benutze limsup (a_(n+1)/a_n)=1/p

So gerne man hier das Quotientenkriterium anwenden möchte, diese Aussage ist falsch, siehe z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} ~ 4^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} z^n \end{eqnarray*}$

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12.01.2006, 20:55

JochenX

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Okay, Arthur....... das habe ich hier schon öfters gelesen, dass man das Quotientenkriterium nicht uneingeschränkt nutzen darf......
und ich mach's doch trotzdem immer......... oO

danke auf jeden fall, auch wenn ich dein Beispiel grad nicht nachvollziehen kann........

mfg Jochen

edit: achso, weil da "immer wieder" 1 kommt, wenn ich a_(n+1)/a_n bestimme......
ah und dann....... naja, ganz nachvollziehen kann ichs nicht, aber ich seh jetzt deinen gedanken

12.01.2006, 21:11

Mathespezialschüler

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Jochen, das Problem ist, dass du bei dem Quotientekriterium den Konvergenzradius als Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ erhältst, aber eben nur dann, wenn dieser auch existiert. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen gilt immer und da in der Aufgabe von einer allgemeinen Potenzreihe die Rede ist, kannst du das Quotientenkriterium nicht benutzen.

Gruß MSS

12.01.2006, 21:15

20_Cent

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heißt es nicht $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \end{eqnarray*}$ ?

Oder ist das egal?

mfg 20

12.01.2006, 21:23

Mathespezialschüler

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Nein, heißt es nicht.

$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ ,

falls der Grenzwert existiert.

Gruß MSS

12.01.2006, 21:23

JochenX

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ich frage noch mal:
muss der Grenzwert existieren oder der Limes Superior?

die Folge (a_n+1/a_n) hat ja auf jeden Fall den Häufungspunkt 1 bei Arthur....
also existiert der Limes Superior auf jeden Fall, aber kein Grenzwert........

edit: ah da ist es also wirklich der LIMES, nicht der LIM SUP, dann ist alles klar

14.01.2006, 11:48

oldwise

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danke für die Hinweise! ärgere mich das ich nicht selbst drauf gekommen bin Schläfer

Schläfer

bei der ersten habe die Konvergenz für alle $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die zweite konvergiert für kein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig?

Mich würde auch mal Kriterium interessieren ob und wann ich das Quotientenkriterium anwenden darf und wann nicht?

14.01.2006, 14:57

Marcyman

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Für z=0 konvergiert jede Potenzreihe! Und Quotientenkriterium darfste anwenden wenn ab einem n_0 für alle n > n_0 a_n !=0.

14.01.2006, 15:27

oldwise

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wieso konvergiert für z=0 jede Potenzreihe?

Der Satz lautet doch, dass eine Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} |z|<r \end{eqnarray*}$ konvergiert. Wenn $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann konvergiert die Potenzreihe nur für $\begin{eqnarray*} |z|<0 \end{eqnarray*}$ und das kann nur für z=0 sein. aber $\begin{eqnarray*} |z|=|0|=0<0 \end{eqnarray*}$ ist doch eine falsche Aussage!?!?

14.01.2006, 15:48

JochenX

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Zitat:

Original von oldwise
wieso konvergiert für z=0 jede Potenzreihe?

jede potenzreihe über a_n*z^n konvergiert für z=0, denn in dem fall summierst du unabhängig von a_n über 0 auf!

[jede reihe über a_n*(z-1)^n konvergiert dann z.b. natürlich a_n-unabhängig, für z=1 usf.]

deine aussage mit der konvergenz für |z|<r ist auch schlichtweg falsch.
gibt dir das kriterium (welches auch immer) den konvergenzradius r, so hast du sichere konvergenz für |z|<r und sichere divergenz für |z|>r; für die fälle z=r und z=-r kannst du aber nix aussagen (limsup....=1)

14.01.2006, 15:54

oldwise

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den Gedanken hatte ich auch schon, dass die Reihe konvergiert, wenn man immer nur 0 summiert, war mir aber etwas unsicher.

jetzt ist es klar. vielen Dank!

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