Direkte Summe linearer Endomorphismen

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14.05.2008, 20:58	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summe linearer Endomorphismen Hallo allerseits! Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Zeigen Sie, die Matrix einer direkten Summe von linearen Endomorphismen ist bezüglich geeigneter Basen gerade die direkte Summe der Matrizen der Summanden, also $\begin{eqnarray} M(f \bigoplus g) = M(f) \bigoplus M(g) \end{eqnarray}$ Also irgendwie ist mir die Aufgabe zu simpel, oder ich habe etwas übesehen. Ich habe mir folgendes überlegt: Seien $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow V , v \mapsto v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: W \rightarrow W, w \mapsto w \end{eqnarray}$ lineare Endomorphismen. Weiter sei $\begin{eqnarray} x_1, \dots , x_n \end{eqnarray}$ die Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_1, \dots , w_n \end{eqnarray}$ die Basis von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ . Beschreibe $\begin{eqnarray} M(f) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} M(g) \end{eqnarray}$ die Abbildungsmatrix von f bzw. g und $\begin{eqnarray} M(f \bigoplus g) \end{eqnarray}$ die Abbildungsmatrix der direkten Summe von f und g wie folgt: $\begin{eqnarray} M(f) = (x_1 \quad x_2 \quad \dots \quad x_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M(g) = (w_1 \quad w_2 \quad \dots \quad w_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M(f \bigoplus g) = ((x_1,w_1) \quad (x_2,w_2) \quad \dots \quad (x_n,w_n)) \end{eqnarray}$ Mit diesen Bezeichnungen gilt offensitlich: $\begin{eqnarray} M(f \bigoplus g) = ((x_1,w_1) \dots (x_n,w_n)) = (x_1 \quad \dots \quad x_n)\bigoplus(w_1 \quad \dots \quad w_n) = M(f) \bigoplus M(g) \end{eqnarray}$ So, ich bitte an dieser Stelle um Kommentar. Habe ich etwas übersehen, oder ist die Aufgabe damit gelöst?
14.05.2008, 22:21	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstens gibt es nicht DIE Basis. Und zweitens sind V und W irgendwelche Vektorräume (z.B. von Polynomen). Du schreibst da also Polynome in eine Matrix. Da kann doch was nicht stimmen?
17.05.2008, 11:56	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm... ich hab da irgendwie keinen anderen Ansatz. Und wenn man einfach sagt, dass man die Einheitsbasen wählt und dann die x und w als Polynome der V und W definiert? Ich hab echt keine Ahnung. Bitte um tiefergehende Tipps
18.05.2008, 20:51	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde folgender Ansatz gehn? $\begin{eqnarray} f: \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g: \mu_1 w_1 + \dots + \mu_n w_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow M(f) = (\lambda_1 \dots \lambda_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M(g) = (\mu_1 \dots \mu_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \bigoplus g: \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n + \mu_1 w_1 + \dots + \mu_n w_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow M(f \bigoplus g) = (\lambda_1 \dots \lambda_n \mu_1 \dots \mu_n) \end{eqnarray}$ aber das geht wohl eher nich, denn ich weiß nich, wie ich das dann in der Gleichung zusammenbasteln soll... Ach bitte, gebt mir doch einfach noch nen Tipp!
18.05.2008, 20:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eigentlich soll man sich ja nicht einmischen, wenn man keine Ahnung hat, aber da hier anscheinend niemand so recht weiß, was gemeint ist (oder nicht weiß, wie man es zeigt), frag ich einfach mal nach: Ich kenne die direkte Summe von Untervektorräumen - aber was ist die direkte Summe von Matrizen? Und was die von Endomorphismen?
18.05.2008, 21:05	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das wüsste, wär ich um einiges schlauer...
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19.05.2008, 01:14	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, das ist ja schön, dass du das auch nicht weißt. Sorry, aber dann kann ich dir leider auch nicht weiterhelfen.
19.05.2008, 14:14	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Seien V ein Vektorraum und X,Y Unterraeume von V, so dass V = X + Y (direkte Summe) gilt. Ist nun A eine lineare Abbildung, fuer die die Unterraeume X und Y invariant sind, dann kann A als die direkte Summe der linearen Abbildungen B = A\|X und C = A\|Y geschrieben werden.
19.05.2008, 19:15	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ihr braucht euch nich weiter den Kopf über das Thema zu zerbrechen , musste die Aufgaben heut abgeben und hab die Nummer frei gelassen... Schönen Abend noch
19.05.2008, 21:45	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich braucht man sich hier nicht den Kopf zu zerbrechen, denn die Behauptung folgt direkt aus den Definitionen. Man muss sich nur mal alles hinschreiben. Die Basis der direkten Summe wählt man natürlich kanonisch.

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