gleiche Topologie

13.01.2006, 16:03

Sunwater

gleiche Topologie

Hi...

ich habe einen Metrischen Raum M und eine Metrik d gegeben.

Dazu wird eine neue Metrik $\begin{eqnarray*} d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)} \end{eqnarray*}$ definiert...

ich soll jetzt herausfinden, ob $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ die gleiche Topologie ( das gleiche System der offenen und abgeschlossenen Mengen ) auf M erzeugt wie d.

Wie macht man sowas?

13.01.2006, 17:55

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Die Metriken bestimmen die Topologie, und daher gehst du so vor: Du musst zeigen, dass es für jede $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ -Umgebung eines Punktes x

$\begin{eqnarray*} U = \{ y:\; d_1(x,y) < \varepsilon \} \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , beliebig) eine $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ -Umgebung desselben Punktes

$\begin{eqnarray*} V = \{ y:\; d(x,y) < \delta \} \end{eqnarray*}$

gibt, die vollständig in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten ist, also $\begin{eqnarray*} V\subset U \end{eqnarray*}$ . Übersetzt: Für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass aus $\begin{eqnarray*} d(x,y)<\delta \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} d_1(x,y)<\varepsilon \end{eqnarray*}$ folgt. Klingt wie Stetigkeit, und hängt auch tatsächlich damit zusammen.

Damit wäre dann gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eine feinere Topologie als $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ erzeugt. Zum Beweis der Gleichheit der Topologien musst du das ganze auch umgekehrt betrachten, d.h. zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ feiner als $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist.

20.10.2006, 11:16

Ambrosius

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Also ich habe zwei Topologien $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gegeben. Ich soll nun zeigen, das beide die gleiche Topologie induzieren.

Die von einer Metrik induzierte Topologie sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} T_d := \{ U \subseteq \mathbb{R} \mid \forall x \in U \exists \varepsilon > 0 \mbox{s.d} U_{\varepsilon}(x) \subseteq U \} \end{eqnarray*}$

Ist es so richtig vorzugehen:

1. $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in U, \forall \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_1(x,y) < \delta \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} d_2(x,y) < \varepsilon \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in U, \forall \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_2(x,y) < \delta \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} d_1(x,y) < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ muss kann doch in Abhängigkeit von x und $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ geqählt werden, oder?

20.10.2006, 22:11

Mathespezialschüler

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Verschoben

21.10.2006, 00:16

Abakus

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Die ganze Epsilontik mal beiseite: Arthur hat es bereits beschrieben, gebe zu einer offenen Menge der einen Topologie sowohl eine Teil- als auch Obermenge der anderen Topologie an. Dann das ganze andersrum auch für die andere Topologie.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

21.10.2006, 15:39

Ambrosius

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Die Idee ist mir schon klar. Nur versteh ich nicht ganz wie ich das formal nachweise.

21.10.2006, 19:12

Abakus

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Nimm einen Punkt x und eine Menge U der einen Topologie, die x enthält. Dann gebe eine Menge V der anderen Topologie konstruktiv an, die den Punkt x auch enthält und gleichzeitig Teilmenge von U ist.

Das ist eine Richtung, die andere geht genauso.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

23.10.2006, 10:28

Ambrosius

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also ich hab die topologien $\begin{eqnarray*} d(x,y) := |x-y| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \rho(x,y) := | \frac{x}{1+|x|} - \frac{y}{1+|y|} | \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} x_0 \in U \end{eqnarray*}$ Ich definiere nun $\begin{eqnarray*} U:= \{ y \in \mathbb{R} \mid |y-x_0| < \varepsilon \} \end{eqnarray*}$

Ich setze $\begin{eqnarray*} V_x:= \{y \in \mathbb{R} \mid \rho(x,y) < \varepsilon - 2 |x_0 y| \} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} x_0 \in V_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_x \subseteq U \end{eqnarray*}$

Reicht das?

23.10.2006, 16:06

Abakus

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Zitat:

Original von Ambrosius
also ich hab die topologien $\begin{eqnarray*} d(x,y) := |x-y| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \rho(x,y) := | \frac{x}{1+|x|} - \frac{y}{1+|y|} | \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gegeben.

$\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \rho(x,y) \end{eqnarray*}$ sind keine Topologien, sondern Metriken. Ersteres sind Mengensysteme, letzteres Abbildungen verwirrt

.

Wenn das $\begin{eqnarray*} \rho(x,y) \end{eqnarray*}$ hier für das $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ (siehe erstes Posting) stehen soll, hast du die falsche Definition.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} x_0 \in U \end{eqnarray*}$ Ich definiere nun $\begin{eqnarray*} U:= \{ y \in \mathbb{R} \mid |y-x_0| < \varepsilon \} \end{eqnarray*}$

Du gehst hier gleich von einer Kugel aus. Das U ist erstmal nur offene Menge, die x enthält. Weil diese offen ist, existiert nun eine solche Kugel, die in U enthalten ist und x enthält. (Wenn du die Behauptung nur für Kugeln zeigen willst und es so in deinem Skript steht, wäre das aber ok.)

Wenn du dir ferner U vorgibst und dann U nochmal definierst, führt das zu Verwirrung (kann man besser ausdrücken).

Zitat:

Ich setze $\begin{eqnarray*} V_x:= \{y \in \mathbb{R} \mid \rho(x,y) < \varepsilon - 2 |x_0 y| \} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} x_0 \in V_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_x \subseteq U \end{eqnarray*}$

Reicht das?

Du müsstest ersichtlich machen, dass $\begin{eqnarray*} V_x \subseteq U \end{eqnarray*}$ gilt. Auf einen Blick sehe ich das nicht, da gehört noch eine Rechnung dazu (ich hab es nicht nachgerechnet). Die prinzipielle Idee ist ok (Brauchen tust du dann noch die andere Richtung).

Grüße Abakus smile

23.10.2006, 17:19

Ambrosius

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Also danke erstmal für deine Hilfe. Ich denke das ich das nun einigermaßen verstanden habe, und werde das demnächst nochmal versuchen

16.10.2013, 23:05

YopChagi

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Zitat:

Original von AD
Die Metriken bestimmen die Topologie, und daher gehst du so vor: Du musst zeigen, dass es für jede $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ -Umgebung eines Punktes x

$\begin{eqnarray*} U = \{ y:\; d_1(x,y) < \varepsilon \} \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , beliebig) eine $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ -Umgebung desselben Punktes

$\begin{eqnarray*} V = \{ y:\; d(x,y) < \delta \} \end{eqnarray*}$

gibt, die vollständig in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten ist, also $\begin{eqnarray*} V\subset U \end{eqnarray*}$ . Übersetzt: Für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass aus $\begin{eqnarray*} d(x,y)<\delta \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} d_1(x,y)<\varepsilon \end{eqnarray*}$ folgt. Klingt wie Stetigkeit, und hängt auch tatsächlich damit zusammen.

Damit wäre dann gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eine feinere Topologie als $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ erzeugt. Zum Beweis der Gleichheit der Topologien musst du das ganze auch umgekehrt betrachten, d.h. zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ feiner als $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist.

Hi!
Ich sitze an einer ähnlichen Aufgabe und verstehe nicht, warum aus dem Zitat folgt $\begin{eqnarray*} T_{d_1} = T_d \end{eqnarray*}$
Kann mir das jemand erklären?
Danke!

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