komplexe Zahlen

13.01.2006, 21:53

kingskid

komplexe Zahlen

hi ihr mathe-genies!!

ich brauch mal wieder eure hilfe!
ich wüsste gerne welchen bereich der komplexen ebene folgende ungleichungen beschreiben.
einmal:
$\begin{eqnarray*} \mid z-2 \mid > \mid 2z-1 \mid \end{eqnarray*}$

hab das umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} \mid a+bi-2 \mid > \mid 2a+2bi-1 \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-2)²+b²}> \sqrt{(2a-1)²+4b²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-2)²-(2a-1)²>3b² \end{eqnarray*}$

... und hier weiß ich nicht weiter...

die andere ungleichung ist:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{z-3}{z+3} \mid = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid z-3 \mid = 2\mid z+3 \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid a-3+bi \mid = 2\mid a+3+bi \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-3)²+b²} = 2 \sqrt{(a+3)²+b²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a²-6a+9-b²=4(a²+6a+9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3a²+30a-b²+27=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b²=3a²+30a+27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= \sqrt{3a²+30a+27} \end{eqnarray*}$

und hier weiß ich auch nicht mehr weiter traurig

13.01.2006, 22:36

Leopold

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Hier geht es um den Kreis des Apollonios.

14.01.2006, 02:07

JochenX

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RE: komplexe Zahlen
nachtrag:

Zitat:

Original von kingskid
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-3)²+b²} = 2 \sqrt{(a+3)+b²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a²-6a+9-b²=2(a²+6a+9) \end{eqnarray*}$

1) fehlt da ein quadrat bei (a+3), das ist aber nur tippfehler
2) schlimmer ist die tatsache, dass 2 auch quadriert werden muss
2^2=4

deine entstandene quadratische gleichung dann nach a(b) aufzulösen, sollte nicht so schwer sein
alternativ besser sogar nach b; musst halt schauen, für welche a das ganze definiert ist.....

aber erstmal letzte gleichung verbessern

14.01.2006, 07:49

kingskid

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oops, danke für korrektur, habs verbessert.
hab die zweite gleichung gleich mal nach b aufgelöst, die erste auch:

$\begin{eqnarray*} b<\sqrt{\frac{1}{3}(a-2)²- \frac{1}{3}(2a-1)²} \end{eqnarray*}$

aber die gleichungen sagen mir irgendwie noch nichts.... verwirrt

14.01.2006, 13:04

Leopold

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Die komplexe Gleichung

$\begin{eqnarray*} | z - a | = \lambda \, | z - b | \ \ \text{mit festem} \ \lambda >0 \end{eqnarray*}$

besagt doch geometrisch, daß der Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -mal so groß ist wie der Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Im Falle $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ ist der geometrische Ort dieser Punkte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gerade die Mittelsenkrechte der durch $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ bestimmten Strecke. Und für $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 1 \end{eqnarray*}$ kann man äquivalent umformen:

$\begin{eqnarray*} | z - a | = \lambda \, | z - b | \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| \left( 1 - \lambda^2 \right) z - \left( a - \lambda^2 b \right) \right| = \lambda \, | a - b | \end{eqnarray*}$

Wenn man die letzte Gleichung noch durch $\begin{eqnarray*} \left| 1 - \lambda^2 \right| \end{eqnarray*}$ dividiert, erkennt man darin die Gleichung eines Kreises vom Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} m = \frac{a - \lambda^2 b}{1 - \lambda^2} \, , \ \ \ r = \frac{\lambda \, | a - b |}{\left| 1 - \lambda^2 \right|} \end{eqnarray*}$

Man nennt diesen Kreis den Apollonioskreis (siehe den Link aus meinem ersten Beitrag). Die obige Äquivalenz ist nicht ganz leicht zu zeigen. Wenn man sich ungeschickt anstellt, wird das sehr rechenaufwendig. (@ kingskid: Du kannst es ja einmal versuchen. Tip: Gleichungen quadrieren und unter Beachtung von $\begin{eqnarray*} |w|^2 = w \bar{w} \end{eqnarray*}$ als Gleichungen in $\begin{eqnarray*} z,\bar{z} \end{eqnarray*}$ schreiben. Beachte, daß die komplexe Konjugation mit allen Grundrechenarten verträglich ist und auf den reellen Zahlen die Identität darstellt. Man kommt dann von links nach rechts durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 1 - \lambda^2 \end{eqnarray*}$ .)

Bei der ersten Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} a = 2, \, b = \frac{1}{2}, \, \lambda = 2 \end{eqnarray*}$ . Und daß statt des Gleichheitszeichens das Größerzeichen steht, macht die Sache auch nicht arg komplizierter. Wenn du das einmal oben in $\begin{eqnarray*} m,r \end{eqnarray*}$ einsetzt, siehst du, worauf das hinauslaufen muß. Und wenn dir der Beweis der allgemeinen Aussage zu schwierig erscheint, so kannst du ja mit der oben genannten Methode (Ungleichung quadrieren und alles mittels $\begin{eqnarray*} z,\bar{z} \end{eqnarray*}$ ausdrücken) auch nur den Spezialfall dieser Aufgabe zeigen.

Im Anhang ist eine Euklid-Datei. Du kannst sie mit dem Euklid-Programm anschauen und an den Punkten $\begin{eqnarray*} a,b,\lambda \end{eqnarray*}$ ziehen. Euklid gibt es hier.

14.01.2006, 18:40

kingskid

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hi, vielen vielen dank für deine ausführliche erklärung samt anhang und link!!!
das is cool mit dem euklidprogramm Augenzwinkern

nur versteh ich das mit der formel noch nicht ganz. hab das grad für das erste besipiel damit ausgerechnet, bekomm m=-1/6 und r=1/3.
aber ich bekomm ja für m immer nur eine koordinate, oder wie ist das genau? weil der mittelpunkt liegt ja nicht immer auf der reellen achse, oder?

14.01.2006, 19:24

Leopold

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Ich bekomme ein viel schöneres $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .
Und: $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist eine komplexe Zahl, $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ dagegen eine positiv reelle Zahl.

14.01.2006, 19:39

kingskid

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hmm, und wie erkenn ich den Realteil bzw Imaginärteil von m?

oops, ja stimmt, wenn man richtig rechnet, ist das ergebnis schöner.

$\begin{eqnarray*} m=\frac{a-\lambda²b}{1-\lambda²} = \frac{2-4\cdot\frac{1}{2}}{1-4}= 0 \end{eqnarray*}$

bedeutet das dass Re(m) = 0 und Im(m)=0?

und r= 1.

14.01.2006, 22:20

Leopold

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anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a = \operatorname{i} , \ b = 2 - \operatorname{i} , \ \lambda = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m = - \frac{2}{3} + \frac{5}{3} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Überprüfe das Ergebnis mit der Eukliddatei. Im übrigen kannst du ja auch deine beiden Aufgaben damit ausprobieren.

15.01.2006, 09:22

kingskid

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ah, okay... *lichtaufgeh* ich glaub so langsam check ich das!

many many THX4help! Augenzwinkern

15.01.2006, 13:44

Leopold

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Und bei all dem nicht vergessen, daß du da noch etwas berechnen mußt. Ich fange einmal an mit dem Quadrieren der zu untersuchenden Ungleichung (man darf das, weil Beträge stets nichtnegativ sind):

$\begin{eqnarray*} | z - 2 | > | 2z - 1 | \ \ \Leftrightarrow \ \ | z - 2 |^2 > | 2z - 1 |^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ ( z - 2 ) \, \overline{( z - 2 )} > ( 2z - 1 ) \, \overline{( 2z - 1 )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ ( z - 2 ) \, ( \bar{z} - 2 ) > ( 2z - 1 ) \, ( 2 \bar{z} - 1) \end{eqnarray*}$

Und jetzt du. Aber achte darauf, daß du die Ungleichung nur mit reellen Größen bearbeiten darfst (auf beiden Seiten eine reelle (!!!) Zahl addieren usw.).

15.01.2006, 14:35

Ace Piet

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RE: komplexe Zahlen
(LOED)
> schlimmer ist die tatsache, dass 2 auch quadriert
> werden muss

Mit der Konsequenz, dass dann rechts VIER* b^2 stehen (und nicht 2), also links - DREI* b^2.

16.01.2006, 20:48

kingskid

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@leopold: was meinst du darf ich nicht vergessen und was muss ich noch berechnen? wie soll ich denn die ungleichung weiterumformen, nach was? also ich glaub ich check das doch noch nicht so wirklich... traurig

17.01.2006, 06:54

Leopold

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Die Rechnung geht dann so weiter:

$\begin{eqnarray*} \ldots \ \ \Leftrightarrow \ \ z \bar{z} - 2z - 2 \bar{z} + 4 > 4 z \bar{z} - 2z - 2 \bar{z} + 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ z \bar{z} + 4 > 4 z \bar{z} + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ 3 z \bar{z} < 3 \ \ \Leftrightarrow \ \ |z|^2 < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ |z|<1 \end{eqnarray*}$

Hier durfte man im ersten Schritt $\begin{eqnarray*} - 2z - 2 \bar{z} \end{eqnarray*}$ weglassen, da dies reell ist und auf beiden Seiten der Ungleichung auftrat.

Wenn dir diese Rechnung mit dem Konjugiert Komplexen unheimlich ist, kannst du auch deinen eigenen Ansatz zu Ende rechnen. Du hattest $\begin{eqnarray*} z = a + \operatorname{i} b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gesetzt und mußt nur weiterrechnen:

$\begin{eqnarray*} \ldots \ \ \Leftrightarrow \ \ (a - 2)^2 - (2a - 1)^2 > 3b^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ a^2 - 4a + 4 - 4a^2 + 4a - 1 > 3b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ -3a^2 + 3 > 3 b^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ a^2 + b^2 < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ |z|^2 < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ |z|<1 \end{eqnarray*}$

Es führen eben viele Wege nach Rom. In jedem Fall ergibt sich das Innere des Einheitskreises als Lösung der gegebenen Ungleichung. Oder anders gesagt: Der Apollonioskreis ist hier der Einheitskreis. (Vielleicht rührt einige Verwirrung von daher, daß die $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ in meinem Apollonios-Beitrag komplexe Zahlen waren, während deine $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ Real- und Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sind. Es tut mir leid, wenn ich dich damit durcheinandergebracht haben sollte.)

17.01.2006, 17:40

kingskid

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auf dem letzten weg versteh ich das wieder *freu* Augenzwinkern

yea, das hab ich bissle durcheinander geschmissen mit a und b...

aber vielen dank für deine hilfe und geduld! Augenzwinkern

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