Erwartungswert der Gruppenanzahl am runden Tisch

15.05.2008, 16:28

michahab

Erwartungswert der Gruppenanzahl am runden Tisch

Hallo,

komm bei folgender Aufgabe nicht weiter. An einem runden Tisch mit n Plätzen setzen sich m Personen (m < n). Dabei entstehen Y Gruppe, die jeweils durch freie Plätze getrennt sind.

Was ist E[Y]???

Ich hab mir eine Liste gemacht mit allen Gruppen die entsehen können. Also

5er Gruppe
4er + 1er Gruppe
und so weiter.....

Aber irgendwie hilft mir das auch nicht. Ich brauch doch noch eine Wahrscheinlichkeit.
Bin total ratlos.
Gruß
Michael

15.05.2008, 16:45

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Die genaue Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , d.h. alle Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(Y=k) \end{eqnarray*}$ , auszurechnen, ist schon ein ziemlicher Hammer.

Aber zum Glück brauchst du das gar nicht, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} Y = \sum_{k=1}^n ~ X_k \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} X_k = \begin{cases} 1 & \;\mbox{falls Platz $k$ leer und Platz $k+1$ besetzt}\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

(dabei sei Platz n+1 identisch mit Platz 1). Demnach gilt auch

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \sum_{k=1}^n ~ E(X_k) = \sum_{k=1}^n ~ P(X_k=1) \end{eqnarray*}$ .

Und das lässt sich leicht ausrechnen. Augenzwinkern

P.S.: Fast vergessen: Willkommen

im Board.

15.05.2008, 17:05

michahab

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Hallo Dent,

danke schonmal für die schnelle Antwort. Allerdings kann ich dir noch nicht so ganz folgen.
Sei X=k leer und k+1 besetzt dann hab ich doch

$\begin{eqnarray*} P(X)= \frac{m(n-m)}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?
Gruß
Michael

15.05.2008, 17:06

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Ja, das stimmt. Freude

15.05.2008, 17:18

michahab

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Hallo,

sehr schön. Das bedeutet wenn ich z.B. n=8 Plätze und ich m=5 Personen habe, dann würde ich
$\begin{eqnarray*} P(X)=\frac{5*3}{8*7} \end{eqnarray*}$ und das Ganze mit 8 multiplizieren.

Wie schreib ich das jetzt korrekt in deine Summenformel?? Tu mir immer so schwer mit der korrekten Schreibweise traurig

Gruß
Michael

15.05.2008, 17:22

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Was ist denn jetzt noch das Problem? Jeder der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Summanden $\begin{eqnarray*} P(X_k=1) \end{eqnarray*}$ hat den gleichen, also von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ unabhängigen Wert $\begin{eqnarray*} \frac {m(n-m)}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ . Da wirst du doch wohl die Summation hinkriegen!

Eine viel interessantere, aber auch mit diesem Zugang gut lösbare Frage wäre hier noch, wie groß die Varianz von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

15.05.2008, 17:36

michahab

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Hallo,
mein Problem ich das ganze aufzuschreiben.

Ich kann doch nicht einfach
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{m(m-n)}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$
schreiben.
Oder kann ich das, weil du weiter oben das k=1 definiert hast?

Gruß
Michael

15.05.2008, 18:01

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Arghhh!!! Wenn man eine Konstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ summiert, was kommt da raus? Na einfach

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n C = nC \end{eqnarray*}$ .

Und hier eben für die Konstante $\begin{eqnarray*} C=\frac{m(n-m)}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ , das kann doch nicht so schwer sein:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{m(n-m)}{n(n-1)} = n\cdot \frac{m(n-m)}{n(n-1)} = \frac{m(n-m)}{n-1} \end{eqnarray*}$ .

15.05.2008, 18:37

michahab

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Hallo,
sorry, dass ich deine Nerven so strapaziere.... traurig

Aber genau da ist mein Problem. Mir ist schon klar wie ich eine Konstante summiere. Mit dem Faktor n multiplizieren. Aber mein Problem ist das korrekte Aufschreiben.

Mir fehlt einfach das nötige "Handwerkszeug". Ich denke, dass man das nur mit ausreichend üben sich aneignet. Ich bräuchte mal Bücher mit "Musterlösungen". Werde mich mal auf die Suche begeben. Oder falls du einen Tipp hast, dann nur her damit.

Vielen Dank, dass du mir so gut weitergeholfen hast und ich hoffe, dass keine grauen Haare heute entstanden sind.

Gruß
Michael

15.05.2008, 23:41

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Tut mir leid, das ist mir zu hoch: Wenn du einerseits das schreibst

Zitat:

Original von michahab
Mir ist schon klar wie ich eine Konstante summiere. Mit dem Faktor n multiplizieren.

und andererseits das

Zitat:

Original von michahab
Ich kann doch nicht einfach
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{m(m-n)}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$
schreiben.

Das widerspricht sich in meinen Augen.

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