Optimierungsproblem

14.01.2006, 14:00

brunsi

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Optimierungsproblem

Hallo ich hab mal hier ein kleines Problem:

Eine Getränkefirma erzeugt durch Zusammenmischen von Aprikosensaft und Orangensaft die Getränke "Aprikosentraum" und "Orangengold". "Aprikosentraum" soll zu 70 % aus Aprikosensaft, "Orangengold" zu 60 % aus Orangensaft bestehen. Es stehen 2400 l Aprikosensaft und 3000 l Orangensaft zur Verfügung. "Aprikosentraum" bringt beim Verkauf einen Gewinn von 0,80 € pro Liter, "Orangengold" einen Gewinn von 0,60 € pro Liter. Wie viel l muss man von jedem Getränk herstellen, damit ein möglichst großer Gewinn entsteht.

So meine Lösung:

Gewinnoptimierung /Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} max! z=0,8\cdot x_1+0,6\cdot x_2 \end{eqnarray*}$

Variablendefinitionen:

$\begin{eqnarray*} x_1= Mengenangabe Aprikosentraum \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2= Mengenangabe Orangengold \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_A= Mengenangabe Aprikosensaft \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_B= Mengenabgabe Orangensaft \end{eqnarray*}$

So die Nebenbedingungen sind ja:

$\begin{eqnarray*} 0,7\cdot x_A+ 0,3\cdot x_B=x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,4\cdot x_A+ 0,6\cdot x_B=x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,7\cdot x_A+ 0,3\cdot x_A=2400 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,6\cdot x_B+ 0,4\cdot x_B=3000 \end{eqnarray*}$

Könntet ihr bitte einmal Prüfen, ob meine Bedingunegn richtig sind??

14.01.2006, 14:03

Dual Space

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RE: Optimierungsproblem
Ja, sieht gut aus.

14.01.2006, 14:15

brunsi

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RE: Optimierungsproblem
kannste mal bitte durchrechen, und mir sagen was raus kommt???

ich bekomme für x_1= 800 und x_2= 4600 L raus.

14.01.2006, 14:19

Dual Space

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Also die Lösung erscheint mir sinnvoll. Zum Nachrechnen fehlt mir im Moment die Zeit (und ehrlich gesagt auch die Lust).
Es findet sich aber sicher ein Freiwilliger.

14.01.2006, 14:53

brunsi

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das war zumindest die Lösung,die angegeben war. ichbekomme aber für x_2=2760 und für x_1=2580 heraus.

Also habe ich falsch modelliert???

14.01.2006, 14:59

Dual Space

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Ich würde eher sagen, du hast dich verechnet, denn nach deinen Restriktionen muss für die Lösung x_1+x_2=5400 gelten.

Edit: Poste doch mal deinen Rechenweg.

Edit2: Nur der Vollständigkeit halber: Eigentlich müssen deine letzten beiden Restriktionen eigentlich so aussehen:
$\begin{eqnarray*} x_A\leq 2400 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_B\leq 3000 \end{eqnarray*}$

Is aber nicht schlimm, da das Maximum (genau wie das Minimum) in diesem Fall auf dem Rand angenommen wird.

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14.01.2006, 15:11

brunsi

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Ich muss doch jetztnichts weiter machen,als die werte für $\begin{eqnarray*} x_A,x_B \end{eqnarray*}$ in die beiden oberen Gleichungen einsetzen,damit ich die Werte für $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ herausbekomme.

edit: und wenn ich dies tue, dann kommen wie gesagt bei mir die oberen werte heraus, denn schlupfvariablen muss ich nicht einführen, weil die du schon sagtest das Maximum bereits vorgegeben ist.

14.01.2006, 15:45

Dual Space

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Nein das geht so einfach nicht. Du musst ja sozusagen $\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ auf beide Gleichungen für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ "aufteilen". Genauso mit $\begin{eqnarray*} x_B \end{eqnarray*}$ .

14.01.2006, 15:50

brunsi

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ja und wie teile ich sie am besten auf? muss ich über die unteren beiden Gleichuneg das verhältnis berechnen und dann in die oberen gleichungen ersetzen??

14.01.2006, 15:56

Dual Space

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Zitat:

Original von brunsi
ja und wie teile ich sie am besten auf?

Das ist das eigentliche Optimierungsproblem, nur anders formuliert.

Du kannst die Gleichungen für $\begin{eqnarray*} x_{1/2} \end{eqnarray*}$ in die Zielfunktion einsetzen. Dann musst du aber die Restriktionen an $\begin{eqnarray*} x_{A/B} \end{eqnarray*}$ irgendwie mit in die Zielfunktion einbauen (Stichwort: Lagrange).

14.01.2006, 16:01

brunsi

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klappt bei mir nicht. aber nun gut. soll auch egal sein, lasse ichdiese aufgabe aus. kostet nur unnötig zeit. und mit lagrange ist das doch zu umständlich, dazu sind och zu wenig bedingungen drin??

aber ich werde das nachher nochmal versuchen und dann demnächst meine rechnung reinstellen.

14.01.2006, 16:03

Dual Space

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Ja mach das. Wink

Wink

14.01.2006, 16:12

brunsi

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$\begin{eqnarray*} max! z=0,8\cdot ( 0,7\cdot x_A+ 0,3\cdot x_B)+0,6\cdot (0,4\cdot x_A+ 0,6\cdot x_B) \end{eqnarray*}$

Variablendefinitionen:

$\begin{eqnarray*} x_1= Mengenangabe Aprikosentraum \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2= Mengenangabe Orangengold \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_A= Mengenangabe Aprikosensaft \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_B= Mengenabgabe Orangensaft \end{eqnarray*}$

So die Nebenbedingungen sind ja:

$\begin{eqnarray*} 0,7\cdot x_A+ 0,3\cdot x_B=x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,4\cdot x_A+ 0,6\cdot x_B=x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,7\cdot x_A+ 0,3\cdot x_A=2400 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,6\cdot x_B+ 0,4\cdot x_B=3000 \end{eqnarray*}$

ja aber wie drücke ich nun die Nebenbedingungen noch in die Zeilfunktion hinein??

kann die ja nicht einfach mit minus anhängen:

$\begin{eqnarray*} max! z=0,8\cdot ( 0,7\cdot x_A+ 0,3\cdot x_B)+0,6\cdot (0,4\cdot x_A+ 0,6\cdot x_B)-\lambda(0,7\cdot x_A+ 0,3\cdot x_A-2400+0,6\cdot x_B+ 0,4\cdot x_B-3000) \end{eqnarray*}$

14.01.2006, 16:28

Dual Space

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Na klar warum nicht? Ich würd aber so machen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=0,8\cdot (0,7x_A + 0.3 x_B)+ 0,6\cdot (0,4x_A+0,6 x_B) +\lambda_1(x_A-2400)+ \lambda_2(x_B-3000) \end{eqnarray*}$

14.01.2006, 16:32

brunsi

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wie kommste auf das positive Vorzeichen bei den Parametern $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ??

14.01.2006, 16:36

Dual Space

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Mal ganz intuitiv:
$\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ ist immer kleiner oder gleich 2400. Somit wird $\begin{eqnarray*} x_A -2400 \end{eqnarray*}$ kleiner Null, wenn $\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ von dieser Grenze abweicht. Fazit: Das Maximum von f(x) wird nur genommen, wenn $\begin{eqnarray*} x_A=2400 \end{eqnarray*}$ ist. Daher das "+".
Ansonsten würde sich der Funktionwert der Lagrange-Zielfunktion erhöhen, wenn $\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ von 2400 abweicht, und das wollen wir ja nicht.

14.01.2006, 17:05

brunsi

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ok, dann berechne ich das mal. aber dazu irgendwann mehr.

noch eine frage: wenn ich schlupfvariablen in ein Tableau einfüge, dann muss ich ja schauen, ob ich sie mit plus oder mit minus an die gleichung anfüge. aber vonach richtet sich das Vorzeichen??

edit: http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/...ML/node161.html

vor allem wann weiß ich, dass ich eine freie Variable gegeben habe und wie erkenne ich danna cuh, um welche es sich dabei handelt??

14.01.2006, 17:09

Dual Space

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verwirrt

Tableau? Wenn du auf den Simplex-Algo raus willst, muss ich dich leider enttäuschen, dass weiß ich jetzt nicht (ist schon zuuu lange her).

Der Link ist doch recht gut, wenn man wissen will wann man welches Vorzeichen braucht.

14.01.2006, 17:10

brunsi

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könntest du dir das dann mal anschauen und mir evtl. weiterhelfen, denn ichs chreib donnerstag die klausur und mit der freien variable habe ich keinen blassens chimmer, wieso das so ist und iwe ich sie erkenne??!!

danke

bitte an meine angegebene email senden, da ich vor montag nicht mehr ins netz kann.

14.01.2006, 17:15

Dual Space

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Sorry, aber besser als in dem Link kann ich es auch nicht erklären, vlei findet sich hier aber noch wer.

17.01.2006, 22:52

Ben Sisko

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Zitat:

Jede ,, $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ``-Ungleichung bringen wir durch Addition einer Schlupfvariablen in Gleichungsform.
(3)
Jede ,, $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ``-Ungleichung (außer die Nichtnegativitätsbedingungen!) bringen wir durch Subtraktion einer Schlupfvariablen in Gleichungsform

Was verstehst du denn daran nicht?

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