Abstand von Punkt Gerade/Ebene

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ulli Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand von Punkt Gerade/Ebene
Hallo!

Ich hänge gerade ziemlich "auf'm" Schlauch. Ich habe derzeit überhaupt kein Verständnis für folgendes Problem. Berechne den Abstand des Punktes B zu Geraden g.

Ich kann mich dunkel daran erinnern, dass ich mal zwei Lösungswege kennengelernt habe. Einmal über eine Hilfebene, die senkrecht zu g ist und noch einmal etwas in der Form , wobei F der Fußpunkt sein soll. Doch beide kann ich nicht anwenden.
Es wäre super wennsich jemand finden würde, der mir etwas Hilfestellung geben könnte.

P.S.: Gibt es in Latex ein Zeichen für das "Skalarprodukt"?
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

wieso kannst du die beiden Wege denn nicht anwenden?

Das mit der Hilfsebene funktioniert so:
du nimmst den Richtungsvektor der Geraden als Normalvektor einer Ebene. Diese Ebene läuft durch den gegebene Punkt (5|-2|-1).
Dann kannste die Ebene aufstellen und den Schnittpunkt aus Ebene und Gerade finden. Der Rest ist eine simple Längenbestimmung eines Vektors.

Das 2. ist die Hessesche Normalform, sie funktioniert nach dem Prinzip der Projektion. die Hessesche funktioniert hier aber nicht, da es keinen Normalvektor auf die Gerade gibt bzw. nicht errechnen lässt.
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ulli,

hier der zweite Lösungweg:

Nimm einen allgemeinen Punkt P der Geraden g, und berechne den Verbindungsvektor BP. Dieser Verbindungsvektor muss auf der Geraden senkrecht stehen, d.h. senkrecht zu dem Richtungsvektor der Geraden sein.



Gruß, therisen
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

ich find den weg mit der hilfsebene am besten..
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

therisens Weg ist aber auch nicht schlecht, vor allem da er einem relativ viel Arbeit erspart.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

es sind ungefähr beide Wege gleich schnell. Allerdings ist der von mir gepostete Alternativweg einfacher zu merken. Dafür ist der Weg mit der Hilfsebene eleganter Big Laugh Letztlich ist es also egal, für welchen Weg man sich entscheidet, so fern man zu dem richtigen Ergebnis kommt Augenzwinkern


Gruß, therisen
ulli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
wieso kannst du die beiden Wege denn nicht anwenden?

Das mit der Hilfsebene funktioniert so:
du nimmst den Richtungsvektor der Geraden als Normalvektor einer Ebene. Diese Ebene läuft durch den gegebene Punkt (5|-2|-1).
Dann kannste die Ebene aufstellen und den Schnittpunkt aus Ebene und Gerade finden. Der Rest ist eine simple Längenbestimmung eines Vektors.


Gut. Also die Hilfsebene der Form

Wie finde ich den Schnittpunkt aus Gerade und Ebene?

Zitat:
Original von therisen
Hallo ulli,

hier der zweite Lösungweg:

Nimm einen allgemeinen Punkt P der Geraden g, und berechne den Verbindungsvektor BP. Dieser Verbindungsvektor muss auf der Geraden senkrecht stehen, d.h. senkrecht zu dem Richtungsvektor der Geraden sein.


Das ist doch der Weg mit
F soll der belibiege Punkt sein. Der Fußpunkt.
Wie ist nun definiert. Eigentlich ja aber wie bekomme ich

Gruß ulli
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

pass auf:

das muss so heißen:
hilfsebene:
n*[x-a]=0 sonst gibt das keinen sinn!
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie finde ich den Schnittpunkt aus Gerade und Ebene?

die Parameterform der Geraden lässt sich in die Berechnung der einzelnen Koordinaten aufspalten. Dann heißt es einsetzen und den entsprechenden Parameter errechnen,...

//edit: zu deinem Problem mit therisens Weg:
auch da funktioniert es mit dem Aufspalten!
ulli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
die Parameterform der Geraden lässt sich in die Berechnung der einzelnen Koordinaten aufspalten. Dann heißt es einsetzen und den entsprechenden Parameter errechnen,...


Gut, also der Parameter k = 0,5. Den setze ich dann ich die Geradengleichung ein und erhalte den Schnittpunkt (F), richtig? (bzw. den Ortsvektor zum Schnittpunkt ist doch mathematisch richtiger, oder?)
Dann errechne ich den Betrag des Vektors BF und habe die Maßzahl der Strecke BF.

Zitat:
Original von MrPSI
//edit: zu deinem Problem mit therisens Weg:
auch da funktioniert es mit dem Aufspalten!

Ja, irgendwie müsste ich da auch einen Wert für k herausbekommen. Nur der Ansatz ist mir nicht ganz klar. (siehe oben).
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Mir kommt zwar ein anderes Ergebnis für k heraus, aber rein theoretisch stimmt deine weitere Vorgehensweise. Stellt sich nur die Frage, was du mit der Maßzahl meinst.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es ist



Gruß, therisen
ulli Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Hilfe. Das hat mir wirklich sehr geholfen.

@MrPSI
Mit Maßzahl meine ich die Zahl, die für den Abstand herauskommt, die wiederum einer Maßeinheit zugeordnet ist.

P.S.: Abstand ist 9 LE.
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