integral 1/sinx dx

15.01.2006, 17:08

nd21

integral 1/sinx dx

wir sinds mal wieder...
...diesmal soll
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{sinx}~dx \end{eqnarray*}$ durch substitution gelöst werden.
Aus der Lösung geht hervor, dass wohl tan(x/2) substituiert wurde.
Wer hat hierzu Ansätze?

Danke!

15.01.2006, 17:26

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RE: integral 1/sinx dx
Du hast doch schon einen guten Ansatz:

Zitat:

Original von nd21
Aus der Lösung geht hervor, dass wohl tan(x/2) substituiert wurde.

Musst du nur durchziehen!

15.01.2006, 17:30

nd21

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...gut, aber wie komme ich auf tan(x/2) in diesem term? Also wie forme ich 1/sinx so um, dass ich tan(x/2) erhalte?

15.01.2006, 17:35

sqrt(2)

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Lass das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin x} \end{eqnarray*}$ völlig in Ruhe und Ersetze erst einmal das $\begin{eqnarray*} \dx \end{eqnarray*}$ durch das entsprechende $\begin{eqnarray*} \dd{t} \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x} \end{eqnarray*}$ ergibt sich der ganze Rest von selbst.

15.01.2006, 18:02

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Die Substitution $\begin{eqnarray*} z=\tan\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ist generell eine gute Idee bei Integralen der Form

$\begin{eqnarray*} \int ~ g(\sin x, \cos x) ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

mit einer gebrochen rationalen Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Diese Substitution führt dann nämlich zu

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x &=& \frac{2}{1+z^2} ~ \mathrm{d}z\\ \sin x &=& \frac{2z}{1+z^2}\\ \cos x &=& \frac{1-z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$

und damit zu einem Integral einer gebrochen rationalen Funktion in $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , und die sind bekanntlich vollständig beherrschbar (wenn man die Nennernullstellen findet Augenzwinkern

).

P.S.: Der Weg über $\begin{eqnarray*} z=\tan\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ist für solche Integranden nicht notwendig immer der beste, da gibt es in vielen Fällen einfachere und kürzere. Aber er klappt garantiert.

15.01.2006, 18:26

nd21

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Vielen Dank das hat mir sehr geholfen!

19.05.2007, 11:46

Milkaschokolade

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Hallo,

ich sitze gerade auch an dieser Aufgabe.

Wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} tan \frac {x}{2} \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ ist doch dann gleich $\begin{eqnarray*} \frac {dz}{1 + tan^2x} \end{eqnarray*}$ .

Ich muss doch dann das $\begin{eqnarray*} sin x \end{eqnarray*}$ irgendwie durch z ersetzen. Dazu müsste ich doch die Gleichung $\begin{eqnarray*} z = tan \frac {x}{2} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen... Und die Lösung dann für das x in das Integral schreiben.

Dann kriege ich aber $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{sin(2 arctan z)}~~\frac {dz}{1 + tan^2x} \end{eqnarray*}$ .

Glauib kaum, dass das richtig ist... :-(

19.05.2007, 12:48

kiste

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Diese Substitution führt dann nämlich zu

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x &=& \frac{2}{1+z^2} ~ \mathrm{d}z\\ \sin x &=& \frac{2z}{1+z^2}\\ \cos x &=& \frac{1-z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$

Lesen hilft dabei gewaltig weiter Augenzwinkern

19.05.2007, 13:15

Milkaschokolade

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Sorry, aber das hilft mir irgendwie nicht. Wie kommt man denn auf diese Formeln?

Wenn ich die anwende, komme ich auf $\begin{eqnarray*} 2\int_{}^{}~\frac{tan\frac{x}{2}}{(1+tan^2\frac{x}{2})^2}~dt \end{eqnarray*}$ , oder?

Aber da kann ich dann auch nicht weitermachen...

Es soll ja folgendes rauskommen: $\begin{eqnarray*} ln(sin\frac{x}{2})-ln(cos\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

Also ich blicks leider nicht...

19.05.2007, 13:25

Calvin

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@Milkaschokolade

bei deiner ersten Berechnung von dx hast du einen Fehler gemacht. Du musst $\begin{eqnarray*} z=\tan{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ ableiten. Du hast aber nur z=tan(x) abgeleitet.

Auch dein Integral im letzten Posting scheint mir nicht ganz richtig. Substituiere ganz konsequent so, wie Arthur es geschrieben hat.

Hier mal noch eine ausführliche Erklärung, wie man auf die Substitutionen für sin und cos kommt. Das dx ist hoffentlich klar Augenzwinkern

In diesem Posting ist erklärt, wie man auf

$\begin{eqnarray*} \tan{\frac{x}{2}}=\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \tan{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}} \end{eqnarray*}$

kommt.

Löst man beide Gleichungen nach $\begin{eqnarray*} \sin{x} \end{eqnarray*}$ auf und setzt gleich, erhält man

$\begin{eqnarray*} \tan{\frac{x}{2}}+\cos{x}\tan{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{\tan{\frac{x}{2}}} \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} \cos{x} \end{eqnarray*}$ aufgelöst ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \cos{x}=\frac{1-\tan^2{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1-z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$

Analog geht die Berechnung für $\begin{eqnarray*} \sin{x} \end{eqnarray*}$

19.05.2007, 15:38

KleineFreche

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darf man sich so einfach mal in diese Aufgabe mit einklicken? denn mich würde es auch mal intressieren wie das geht.

Jedoch habe ich ein allgemeines Verständnisproblem bei der Sache (wir haben es nie mit einer solchen Subsitution gerechnet):

es wurde gesagt, man solle 1/ sinx erstmal in Ruhe lassen und dx substituieren. Ok, es wurde gesagt was das in dz entsprechen würde (wobei mir schleierhaft ist woher das kommt...aber ich nehms mal so hin)...

danach hiess es sinx = ... ich habe mir den anderen Tread durchgelesen und weiss jezt, wie man auf sinx =... kommt. Doch Milkaschokolade hat das jetzt einfach alles hinter das Integral gesetzt und nun hörts bei mir auf..

1. ich dachte wir substituieren, um das Integral mit einem z lösen zu können (und wenn wir das Ergebnis raushaben wieder zu resub.)

2. es ging doch um 1 / sinx ... warum wird dann das von sinx =... eingesetzt und nicht der Kehrwert davon?

3: und wo ist jetzt die Umwandlung von dx zu dz ?? (was ich persönlich einfach nur so ohne Rechnung geändert hätte)

Ihr seht - mir fehlt das allgemeine Verständnis dazu.
Doch ich hoffe irgendjemand versteht meine Fragen dazu und kann mir helfen es zu verstehen.. (hab wirklich schon für 30min den Tread studiert und komm auf nichts).

PS: wenn ich übrigens einen neuen Tread aufmachen soll, dann sagt es bitte. Ich war mir nicht so sicher..

19.05.2007, 15:53

Calvin

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Zitat:

Original von KleineFreche
2. es ging doch um 1 / sinx ... warum wird dann das von sinx =... eingesetzt und nicht der Kehrwert davon?

Dann setze es doch einfach in den Nenner ein. Man muss da ein bißchen flexibel sein Augenzwinkern

Zitat:

3: und wo ist jetzt die Umwandlung von dx zu dz ?? (was ich persönlich einfach nur so ohne Rechnung geändert hätte)

Nein, du darfst es nicht einfach umbenennen. Es wird $\begin{eqnarray*} z=\tan{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ substituiert. Du hast also eine Funktion z(x). Um dx zu ersetzen, musst du jetzt z(x) nach x ableiten. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd z}{\dx}=\frac{1}{2}\left(1+\tan^2{\frac{x}{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(1+z^2\right) \end{eqnarray*}$

Das kannst du nach dx auflösen und kriegst den Ausdruck, durch den du dx ersetzen musst.

Wenn es um grundsätzliche Fragen zu "Integration per Substitution" geht, darfst du gerne einen neuen Thread aufmachen.

19.05.2007, 22:16

Milkaschokolade

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Also irgendwie habe ich hier glaub ich ein generelles Verständnisproblem.

Ihr schreibt man soll $\begin{eqnarray*} z=tan(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ setzen. In der Aufgabe ist doch aber gar kein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bzw. kein $\begin{eqnarray*} tan\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ .

Ich kenne die Substitutionsmethode nur so, dass man in dieser Aufgabe z.B. das $\begin{eqnarray*} sin x = z \end{eqnarray*}$ setzt und dann $\begin{eqnarray*} dx = \frac{dz}{z'} \end{eqnarray*}$ ist...

Vilt könnt ihr mir einfach mal den ersten Schritt (die Substitution) aufschreiben? Vilt steht die aber auch hier schon irgendwo und ich bin einfach nur zu blöd :-/?

20.05.2007, 00:28

Calvin

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Grundsätzlich kannst du alles substituieren was du möchtest. Auch wenn es wie in diesem Fall nicht direkt vorkommt. Lass dich also nicht verwirren.

Die Substitution $\begin{eqnarray*} z=\tan{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ kannst du umformen zu $\begin{eqnarray*} \sin{x}=\frac{2z}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos{x}=\frac{1-z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ . Wie das geht, habe ich vorhin kurz angedeutet.

Außerdem ergibt sich durch die Substitution $\begin{eqnarray*} \dx = \frac{2}{1+z^2}\dd z \end{eqnarray*}$

Wenn du das ganz konsequent in dein Integral einsetzt, erhälst du

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sin{x}}\,\dx = \int~\frac{1}{\frac{2z}{1+z^2}}\cdot \frac{2}{1+z^2}\dd z \end{eqnarray*}$

Wenn du das noch ein bißchen kürzt, erhälst du ein sehr einfaches Integral.

20.05.2007, 20:59

Milkaschokolade

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Wow... so langsam krieg ich einen kleinen Durchblick :-). Vielen, vielen Dank, konnte die Aufgabe jetzt mit eurer Hilfe lösen.

Nur eins wüsste ich noch gern: Woher weiß man das $\begin{eqnarray*} z = tan(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ die richtige Substitution für diese Aufgabe ist?

Gibt es für andere Aufgaben auch solch "richtige" Substitutionen, die man einfach kennen muss??

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