Wie überprüfe ich ob ne Funktion um 0 holomorph ist? |
16.05.2008, 14:29 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie überprüfe ich ob ne Funktion um 0 holomorph ist? Ich soll Beweisen ob gewisse Funktionen (die nichmal voll angegeben sind) um 0 holomorph sind. Also habe ich z.B. solch eine Information: Nun soll ich feststellen ob es eine solche Funktion gibt, die um 0 holomorph ist. Ich habe leider keinen Ansatz, würde mich sehr um einen Stups in die richtige Richtung freuen, und dann poste ich mal meine Versuche Aber momentan fehlt mir sogar der Ansatz |
||||
16.05.2008, 14:41 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst, dass eine Funktion um 0 hol sein kann, braucht man ein Gebiet, dass die 0 auch enthält, vorher macht so eine Frage keinen Sinn. Zum zweiten ist es notwendig, dass die Funktion in 0 auch stetig ist, wenn sie dort hol sein soll. Gehe ich recht in der Annahme, dass deine Angabe eigentlich eine Folge meint? Also du hast die Folge definiert durch , und dann wird die Folge der Funktionswerte angeschaut, also Um stetig zu sein muss natürlich konvergieren, das ist das Erste. Dann muss es nicht nur konvergieren, sondern auch noch mit dem Funktionswert übereinstimmen (das heisst setze als Funktionswert den Folgengrenzwert - sofern er existiert). Da die Folge in die Funktionsvorschrift eingesetzt wurde, um zu bekommen, kannst du eventuell rückwärts auf die Funktionsgleichung schliessen. Dann kannst du dich fragen, ob das Zeugs hol ist oder nicht. |
||||
16.05.2008, 14:47 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also von einer Folge steht da jetzt nichts, da ist nur von einer Funktion die Rede für die die obere bedingung gilt....die Funktion kann glaube ich alles sein, es ist nur gefragt ob irgendeine Funktion existiert die obige gleichung erfüllt und um 0 holomorph ist... ...werde trotzdem mal mit deinem Tipp experimentieren, vielleicht kriege ich es hin Über weitere Anregungen freue ich mich natürlich jederzeit. Melde mich dann gleich wieder... |
||||
16.05.2008, 14:52 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Siehst du es? |
||||
16.05.2008, 14:57 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leopold, danke für deinen Tipp Also ich bin jetzt nicht wirklich ein Mathe-Ass aber ich sehe auf jedenfall dass 0 eine hebbare Polstelle ist und die Funktion holomorph fortsetzbar ist... Leider sagt mir das nicht viel Doch was mache ich nun? Ich könnte ja mit den Cauchyriemann-Differentialgleichungen schauen wo die Funktion holomorph ist, aber das sagt mir ja nicht aus ob sie um 0 holomorph ist, und die g(1/n) irritieren mich auch ein bisschen! Habe schon alles im Ordner durchwühlt, aber irgendwie machts noch nicht klick... Ich finde das ganz lieb dass ihr mir helft, tut mir leid dass ich an der Stelle nicht mehr eigenleistung vorweisen kann. Vielleicht brauch ich noch einen Tipp was meine oben genannten unsicherheiten betrifft? |
||||
16.05.2008, 15:00 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Durch den Tipp von Leopold hast du ja jetzt sogar die Gleichung: Nun erinnere dich an den Satz über die Verknüpfung holomorpher Funktionen etc. Aber wie ich bereits sagte, ohne ein Gebiet ist die Frage sinnlos ! |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
16.05.2008, 20:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Es wird zusätzlich nach einem Gebiet gefragt. Die Frage ist: Gibt es ein Gebiet G, das die Null enthält, und eine holomorphe Funktion auf G, so dass ... |
||||
17.05.2008, 00:02 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist schwer, einen endgültigen Tipp zu geben, wenn man nicht weiß, wie weit ihr in der Funktionentheorie fortgeschritten seid. Eventuell zielt die Aufgabe ja auf ein konkretes Kriterium ab, das du anwenden sollst, welches ihr gerade eben behandlet habt. Jedenfalls ist die Idee ziemlich gut, erstmal eine solche Funktion zu erraten, wie man auf die Funktion kommt, hat dir Leopold ja demonstriert. Am einfachsten wäre wohl, das ganze dann in eine Potenzreihe um 0 zu entwickeln, und zur Sicherheit noch deren Konvergenzradius auszurechnen. Fällt dir denn zu etwas ein? |
||||
17.05.2008, 11:20 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die hinweise also 1/(1-z) ist ja die geometrische reihe mit Konvergenzradius 1 Jetzt wäre noch zu überprüfen ob z*geometrische reihe ebenfalls den gleichen konvergenzradius hat, wenn ja dann bin ich quasi schon fertig oder? |
||||
17.05.2008, 11:22 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Problem ist nur dass gleich ist... ist ja in dem sinne nicht mehr die geometrische reihe ... |
||||
17.05.2008, 11:23 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
meinte natürlich ist gleich somit keine richtige potenzreihe mehr!! edit (MSS): Latex verbessert. |
||||
17.05.2008, 11:39 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich ist das eine Potenzreihe, warum sollte es keine sein? Und die hat natürlich auch immer noch den gleichen Konvergenzradius. |
||||
17.05.2008, 11:40 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wozu? Eine Funktion kann durchaus auf einem grösseren Gebiet holomorph sein, als wie nur in einem Kreis, in der die dort zugehörige Potenzreihe konvergiert, siehe zb. aber die zugehörige Potenzreihe um den Entwicklungspunkt konvergiert nur im Einheitskreis um 1. |
||||
20.05.2008, 16:04 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, aber das ist leider falsch |
||||
20.05.2008, 16:14 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry für meine kurze Nachricht eben, aber inklisive dem "Hinweis" und dem "TIpp" sowie allem was danach kam ist leider gottes alles falsch... wobei wir immernoch am Anfang wären, ich saß jetzt 3 Tage daran um herauszufinden dass alles bisher falsch ist und bin immernoch kein Stück weiter. Hat sonst noch jemand Ideen? |
||||
20.05.2008, 16:42 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wieso ist das falsch? |
||||
20.05.2008, 16:47 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso falsch? Leopold hat dir eine Funktion gezeigt, die deine geforderten Eigenschaften erfüllt. Ob diese vom Himmel fällt, oder du seinen Tipp für die Motivation beherigst, ist für die Aufgabe erstmal völlig egal. Du mußt nur noch die Holomorphie dieser Funktion in einer Umgebung des Nullpunktes zeigen. Eine Methode diese zu zeigen ist, die Funktion dort durch eine konvergente Potenzreihe darzustellen. Alternativ kannst du auch die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen nachrechnen, aber das wird imho viel länger. Ein weiteres alternatives Kriterium wäre die Gültigkeit des Cauchyschen Integralsatzes für alle Dreieckswege in einer Umgebung des Nullpunktes, aber das wird seeehr lang. Desweiteren gilt: Wenn es überhaupt eine solche holomorphe Funktion gibt, dann ist diese eindeutig bestimmt. Dies folgt aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen, da weiß ich aber nicht, ob ihr den schon behandelt habt. Jedenfalls hat die Folge der Punkte, die du gegeben hast, hat einen Häufungspunkt in 0, woraus die Eindeutigkeit folgt. Wo liegt denn deiner Meinung nach der Fehler? |
||||
20.05.2008, 17:08 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falsch ist das deswegen, weil definitiv ungleich sondern viel mehr oder nicht? edit (MSS): Latex verbessert. |
||||
20.05.2008, 17:24 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hat sich wohl zwischendurch ein Fehler eingeschlichen. Aber es ist doch nicht schwer, jetzt zu erraten, welche Funktion du anstelledessen nehmen solltest: . Und die lässt sich genausogut mit der geometrischen Reihe in eine Potenzreihe entwickeln, in einer geeigneten Umgebung um Null natürlich. |
||||
20.05.2008, 17:45 | DanielAnalysis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiss ich bin vermutlich blöd, aber ich komme nach umformung auf Den ersten summanden könnte ich noch mit der geo. Reihe um 0 entwickeln, doch stellst sich die Frage ... was mit dem Rest |
||||
20.05.2008, 19:37 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |