Wie überprüfe ich ob ne Funktion um 0 holomorph ist?

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DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »
Wie überprüfe ich ob ne Funktion um 0 holomorph ist?
Hilfe, ich bin da gerade schwer am Verzweifeln.

Ich soll Beweisen ob gewisse Funktionen (die nichmal voll angegeben sind) um 0 holomorph sind.

Also habe ich z.B. solch eine Information:


Nun soll ich feststellen ob es eine solche Funktion gibt, die um 0 holomorph ist.

Ich habe leider keinen Ansatz, würde mich sehr um einen Stups in die richtige Richtung freuen, und dann poste ich mal meine Versuche smile
Aber momentan fehlt mir sogar der Ansatz verwirrt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst, dass eine Funktion um 0 hol sein kann, braucht man ein Gebiet, dass die 0 auch enthält, vorher macht so eine Frage keinen Sinn.
Zum zweiten ist es notwendig, dass die Funktion in 0 auch stetig ist, wenn sie dort hol sein soll.
Gehe ich recht in der Annahme, dass deine Angabe eigentlich eine Folge meint?
Also du hast die Folge definiert durch , und dann wird die Folge der Funktionswerte angeschaut, also

Um stetig zu sein muss natürlich konvergieren, das ist das Erste. Dann muss es nicht nur konvergieren, sondern auch noch mit dem Funktionswert übereinstimmen (das heisst setze als Funktionswert den Folgengrenzwert - sofern er existiert).

Da die Folge in die Funktionsvorschrift eingesetzt wurde, um zu bekommen, kannst du eventuell rückwärts auf die Funktionsgleichung schliessen.

Dann kannst du dich fragen, ob das Zeugs hol ist oder nicht.
DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Also von einer Folge steht da jetzt nichts, da ist nur von einer Funktion die Rede für die die obere bedingung gilt....die Funktion kann glaube ich alles sein, es ist nur gefragt ob irgendeine Funktion existiert die obige gleichung erfüllt und um 0 holomorph ist...

...werde trotzdem mal mit deinem Tipp experimentieren, vielleicht kriege ich es hin smile Über weitere Anregungen freue ich mich natürlich jederzeit.

Melde mich dann gleich wieder...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Siehst du es?
DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold, danke für deinen Tipp smile
Also ich bin jetzt nicht wirklich ein Mathe-Ass aber ich sehe auf jedenfall dass 0 eine hebbare Polstelle ist und die Funktion holomorph fortsetzbar ist...

Leider sagt mir das nicht viel unglücklich

Doch was mache ich nun? Ich könnte ja mit den Cauchyriemann-Differentialgleichungen schauen wo die Funktion holomorph ist, aber das sagt mir ja nicht aus ob sie um 0 holomorph ist, und die g(1/n) irritieren mich auch ein bisschen!

Habe schon alles im Ordner durchwühlt, aber irgendwie machts noch nicht klick...

Ich finde das ganz lieb dass ihr mir helft, tut mir leid dass ich an der Stelle nicht mehr eigenleistung vorweisen kann. Vielleicht brauch ich noch einen Tipp was meine oben genannten unsicherheiten betrifft?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Durch den Tipp von Leopold hast du ja jetzt sogar die Gleichung:



Nun erinnere dich an den Satz über die Verknüpfung holomorpher Funktionen etc.
Aber wie ich bereits sagte, ohne ein Gebiet ist die Frage sinnlos !
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Aber wie ich bereits sagte, ohne ein Gebiet ist die Frage sinnlos !


Nein. Es wird zusätzlich nach einem Gebiet gefragt. Die Frage ist: Gibt es ein Gebiet G, das die Null enthält, und eine holomorphe Funktion auf G, so dass ...
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist schwer, einen endgültigen Tipp zu geben, wenn man nicht weiß, wie weit ihr in der Funktionentheorie fortgeschritten seid. Eventuell zielt die Aufgabe ja auf ein konkretes Kriterium ab, das du anwenden sollst, welches ihr gerade eben behandlet habt.

Jedenfalls ist die Idee ziemlich gut, erstmal eine solche Funktion zu erraten, wie man auf die Funktion kommt, hat dir Leopold ja demonstriert.

Am einfachsten wäre wohl, das ganze dann in eine Potenzreihe um 0 zu entwickeln, und zur Sicherheit noch deren Konvergenzradius auszurechnen.

Fällt dir denn zu



etwas ein?
DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die hinweise smile

also 1/(1-z) ist ja die geometrische reihe mit Konvergenzradius 1 smile
Jetzt wäre noch zu überprüfen ob z*geometrische reihe ebenfalls den gleichen konvergenzradius hat, wenn ja dann bin ich quasi schon fertig oder?
DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Problem ist nur dass



gleich



ist...
ist ja in dem sinne nicht mehr die geometrische reihe ...
DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

meinte natürlich



ist gleich



somit keine richtige potenzreihe mehr!!

edit (MSS): Latex verbessert.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich ist das eine Potenzreihe, warum sollte es keine sein? Und die hat natürlich auch immer noch den gleichen Konvergenzradius.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom

Am einfachsten wäre wohl, das ganze dann in eine Potenzreihe um 0 zu entwickeln, und zur Sicherheit noch deren Konvergenzradius auszurechnen.


Wozu?
Eine Funktion kann durchaus auf einem grösseren Gebiet holomorph sein, als wie nur in einem Kreis, in der die dort zugehörige Potenzreihe konvergiert, siehe zb.

aber die zugehörige Potenzreihe um den Entwicklungspunkt konvergiert nur im Einheitskreis um 1.
DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Durch den Tipp von Leopold hast du ja jetzt sogar die Gleichung:



Nun erinnere dich an den Satz über die Verknüpfung holomorpher Funktionen etc.
Aber wie ich bereits sagte, ohne ein Gebiet ist die Frage sinnlos !



Sorry, aber das ist leider falsch unglücklich
DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für meine kurze Nachricht eben,

aber inklisive dem "Hinweis" und dem "TIpp" sowie allem was danach kam ist leider gottes alles falsch...


wobei wir immernoch am Anfang wären, ich saß jetzt 3 Tage daran um herauszufinden dass alles bisher falsch ist und bin immernoch kein Stück weiter.


Hat sonst noch jemand Ideen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso ist das falsch? verwirrt
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso falsch? Leopold hat dir eine Funktion gezeigt, die deine geforderten Eigenschaften erfüllt. Ob diese vom Himmel fällt, oder du seinen Tipp für die Motivation beherigst, ist für die Aufgabe erstmal völlig egal. Du mußt nur noch die Holomorphie dieser Funktion in einer Umgebung des Nullpunktes zeigen. Eine Methode diese zu zeigen ist, die Funktion dort durch eine konvergente Potenzreihe darzustellen. Alternativ kannst du auch die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen nachrechnen, aber das wird imho viel länger. Ein weiteres alternatives Kriterium wäre die Gültigkeit des Cauchyschen Integralsatzes für alle Dreieckswege in einer Umgebung des Nullpunktes, aber das wird seeehr lang.

Desweiteren gilt: Wenn es überhaupt eine solche holomorphe Funktion gibt, dann ist diese eindeutig bestimmt. Dies folgt aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen, da weiß ich aber nicht, ob ihr den schon behandelt habt. Jedenfalls hat die Folge der Punkte, die du gegeben hast, hat einen Häufungspunkt in 0, woraus die Eindeutigkeit folgt.

Wo liegt denn deiner Meinung nach der Fehler?
DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch ist das deswegen, weil



definitiv ungleich



sondern viel mehr




oder nicht?

edit (MSS): Latex verbessert.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Da hat sich wohl zwischendurch ein Fehler eingeschlichen. Aber es ist doch nicht schwer, jetzt zu erraten, welche Funktion du anstelledessen nehmen solltest:

.

Und die lässt sich genausogut mit der geometrischen Reihe in eine Potenzreihe entwickeln, in einer geeigneten Umgebung um Null natürlich.
DanielAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss ich bin vermutlich blöd, aber ich komme nach umformung auf



Den ersten summanden könnte ich noch mit der geo. Reihe um 0 entwickeln, doch stellst sich die Frage ... was mit dem Rest Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

.

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