Überabzählbare Summen

16.05.2008, 18:34

speedyschmidt

Überabzählbare Summen

Hallo ihr da draussen ! Wink

Ich habe eine Frage, was die Indexmengen von Summen/Reihen angeht.

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in I} a_i \end{eqnarray*}$ eine beliebige Reihe und sei I eine überabzählbare Menge und seien auch überabzählbar viele $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ungleich 0. kann der Summe dann ein konkreter wert zugeordnet werden?
Wenn ja, was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} a_i>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ gelten soll, ist dann der Wert automatisch + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?
Oder kann man z.B. den Wert von $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in[0,1]} i \end{eqnarray*}$ berechnen?

16.05.2008, 18:42

Auf diesen Beitrag antworten »

Überabzählbare Summen gibt es nicht - wie soll denn so eine Summation vonstatten gehen???

Im eigentlichen Sinn gibt es auch keine abzählbaren Summen. Nur durch die zugrundeliegende Topologie kann man diese dann als Reihen, d.h. Grenzwerte der Partialsummen auffassen. Auf sowas wie überabzählbare Summen ist dieses Konzept nicht übertragbar.

16.05.2008, 18:52

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.

Es gibt zwar Summen über beliebige Indexfamilien - diese sind aber keineswegs weit verbreitet. Außerdem vermute ich mal, dass jede "überabzählbare" Summe, bei der wirklich überabzählbar viele Glieder ungleich Null sind, in diesem "Summierbarkeitssinne" immer divergiert.

Zitat:

Original von speedyschmidt
Oder kann man z.B. den Wert von $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in[0,1]} i \end{eqnarray*}$ berechnen?

Hm was sollte denn da rauskommen? Die "endlichen" Partialsummen davon sind doch unbeschränkt. Wenn da was sinnvolles rauskommen soll, dann müsste es sicher größer als

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{1}{i}=\infty \end{eqnarray*}$

sein.

edit: Hier am Ende stand Mist.

16.05.2008, 19:02

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Es gibt zwar Summen über beliebige Indexfamilien

Algebraische Summen??? verwirrt

16.05.2008, 19:02

speedyschmidt

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, ok, danke Freude

ja, das mit $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in [0,1]} i~~ \end{eqnarray*}$ war unglücklich gewählt, aber offenbar wär ja dann auch $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in [0,1]} \frac{1}{i^{20}} \end{eqnarray*}$ nicht besser gewesen... :-)

16.05.2008, 19:07

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann natürlich z.B. für nichtnegative $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ sowas wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{i\in I} a_i:= \sup\left\{ \sum_{i\in J} a_i \Bigm| J\subset I,\; J \;\mbox{endlich} \right\} \end{eqnarray*}$

o.ä. definieren. Aber Summe würde ich das dann nicht mehr nennen. Augenzwinkern

16.05.2008, 19:18

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur
Sorry, Indexfamilie ist irgendwie nicht so sinnvoll, ich meinte natürlich Indexmengen. Und da läuft es ungefähr darauf hinaus, was du auch meinst. Für beliebige $\begin{eqnarray*} a_i\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ kann man die "Summe" $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in I}~a_i \end{eqnarray*}$ im Falle der "Konvergenz" nämlich auch definieren, indem man sagt:

Wenn es ein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ eine endliche Menge $\begin{eqnarray*} I_{\varepsilon}\subset I \end{eqnarray*}$ existiert, für die für alle endlichen Mengen $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} I_{\varepsilon}\subset J\subset I \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left|a-\sum_{j\in J}~a_j\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt, dann heißt die Familie $\begin{eqnarray*} (a_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ summierbar mit der "Summe" $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Ich halte auch nichts von dieser Definition. Ich kann mich noch gut an eine Diskussion mit therisen erinnern, in der es auch darum ging. Aber wenn jemand danach fragt, soll man es ihm nicht vorenthalten. Augenzwinkern

@speedyschmidt
Wie kommst du auf diese Frage? verwirrt

16.05.2008, 19:57

Auf diesen Beitrag antworten »

Meist treten ja solche Fragen bei Sachen auf, die sich mit "ordentlicher" Maßtheorie klären lassen. Augenzwinkern

16.05.2008, 20:31

speedyschmidt

Auf diesen Beitrag antworten »

naja es geht um aufgabe 4 :-)

16.05.2008, 20:56

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht schon. Seien I eine Indexmenge, T ein topologischer Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \{a_i : i\in I\} \end{eqnarray*}$ eine Menge von Elementen aus T. Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ die Menge der endlichen Teilmengen von I. Für $\begin{eqnarray*} F\in\mathcal F \end{eqnarray*}$ setze

$\begin{eqnarray*} a_F := \sum_{i\in F} a_i. \end{eqnarray*}$

Das ist dann eine wohldefinierte (endliche) Summe. Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ ist mit der Inklusionsrelation eine gerichtete Menge, und die Abbildung

$\begin{eqnarray*} a : \mathcal F\to T\;,\quad a(F) := a_F \end{eqnarray*}$

ist dann ein Netz in T, und man kann von (eventueller) Konvergenz sprechen. Im Falle der Konvergenz kann man dann durchaus

$\begin{eqnarray*} \sum \{a_i : i\in I\} \end{eqnarray*}$

oder eben auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{i\in I} a_i \end{eqnarray*}$

schreiben.

16.05.2008, 23:53

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von speedyschmidt
naja es geht um aufgabe 4 :-)

Aha, dann ist natürlich alles klar. smile

Kannst du mal bitte deutlich machen, wenn du wieder eine Privatunterhaltung mit MSS vorhast, dann müssen wir anderen nicht rätseln, was du mit "Aufgabe 4" meinst. Forum Kloppe

17.05.2008, 11:50

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist vielleicht eher meine Schuld als seine. Entschuldigung.

Aufgabe 4 lautet:

"Eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist eine Vereinigung abzählbar vieler offener Intervalle. Zeigen Sie, dass eine Regelfunktion auf einer offenen Menge höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt."

Ich weiß aber nicht, ob speedyschmidt dazu wirklich Tipps oder einfach nur seine Idee hinterfragt haben wollte.

18.05.2008, 15:04

speedyschmidt

Auf diesen Beitrag antworten »

wollte nur meine Idee hinterfragen aber so wirklich eine Lösung für die Aufgabe hab ich trotzdem noch nicht.(Verzeihung beim nächsten Mal gibts kein plumpes Nr. 4^^)

Ich hab da nur so eine "Scheinlösung", die aber sicher einen Haken hat:

Annahme: die Funktion besitzt überabzählbar viele Unstetigkeitsstellen
Dann gibt es ja überabzählbar viele Intervalle in denen Unstetigkeitsstellen drinstecken.
Die differenzen der Intervallgrenzen kann ich nicht summieren bzw die summe wird schon gar nicht kleiner als ein beliebiges epsilon.
Dann haben wir aber keine Nullmenge von unstetigkeitsstellen, das heißt aber wieder das unsere Funktion nicht riemann-integrierbar ist und somit keine Regelfunktion ist.

Erscheint mir aber zu einfach und irgendeine Implikation wird wohl auch falsch sein.

Wäre also nett, wenn ihr mir weiterhelfen könnt :-)

18.05.2008, 18:10

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition einer Nullmenge fordert die Existenz einer Überdeckung von offenen Intervallen, deren Längensumme beliebig klein wird. Du hast jetzt einfach gesagt, dass der Definitionsbereich eine Überdeckung davon ist, deren Längensumme nicht beliebig klein ist. Wer sagt aber, dass es nicht vielleicht eine viel bessere, eine viel kleinere Überdeckung gibt, die das Gewünschte leistet?!

Zitat:

Original von speedyschmidt
Dann gibt es ja überabzählbar viele Intervalle in denen Unstetigkeitsstellen drinstecken.

Wie genau meinst du das? Was für Intervalle? Wie sollen die aussehen?

Versuch es lieber mit einem ganz anderen Ansatz und denke an die ursprüngliche Definition einer Regelfunktion: Sie lässt sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen annähern, d.h. es gibt eine Folge von Treppenfunktionen, die gleichmäßig gegen die vorgegebene Regelfunktion konvergiert.

Neue Frage »

Antworten »

Überabzählbare Summen

Verwandte Themen