Kompaktheit

17.01.2006, 17:22

Domm

Kompaktheit

Hallo!!

Ich habe drei Mengen gegeben und soll nun entscheiden welche der Mengen kompakt ist und eine kurze Begründung abgeben.

A_1 := {1} x [0,1]

A_2 := {1} x (0,1)

A_3 := Q

Ok, ich habe mir dazu folgendes Überlegt:

A_1 würde ich sagen ist kompakt, da es eine abgeschlossene, kompakte Menge ist.

A_2 ist dagegen nicht kompakt, da es eine offene Menge ist.

Ja bei A_3 habe ich irgendwoe gelesen, dass jedes echte Intervall in Q nicht kompakt ist, aber dann müsste es hier ja Kompakt sein, da man kein richtiges Intervall hat oder sehe ich es falsch??

Wäre nett wenn sich das jemand ansehen könnte und mir ein klein wenig aus die Sprünge helfen könnte, ob ich das so richtig habe oder ganz auf dem Holzweg bin...

Bis dann Domm

17.01.2006, 17:23

Domm

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meine bei A_ 1 nicht kompakt sondern beschränkt...

17.01.2006, 17:28

Leopold

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Solche Fragen sind hier schon oft gestellt worden. Oft sind dann leider die Antworten für die Fragestellenden eher verwirrend als erhellend. Das liegt nicht daran, daß die Leute hier nichts können, sondern daran, daß sie nicht wissen, welche Definition von abgeschlossen und kompakt der Fragestellende kennt.

Damit solltest du also beginnen. Wie habt ihr "abgeschlossen" und "kompakt" definiert?

17.01.2006, 17:36

Domm

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Ok, klar...

abgeschlossen ist eine Menge wenn ihr Komplement offen ist

Kompaktist eine Menge, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.Aber es kann auch die leere Menge sein.

Hoffe das ist so in Ordnung?!?!

17.01.2006, 17:51

thoroh

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Hallo!

Wie habt ihr offen definiert?

zu $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ : Ist das Komplement offen? (btw, $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ selbst ist nicht offen)

zu $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ : Ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ beschränkt oder unbeschränkt?

lg
thoroh

17.01.2006, 17:59

Domm

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Ohh, also offen haben wir so definiert, das jedes element eine Umgebung hat, die in der Menge ist..

A_2 wäre dann nicht offen, aber abgeschlossen kann sie ja auch nicht sein, da es ja ein offenes Intervall hat.. Also ist die Menge weder offen noch abgeschlossen, also kann sie auch nicht kompakt sein?!?!

A_3 Ich würde sagen, Q ist nicht beschränkt....

17.01.2006, 18:15

thoroh

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Zitat:

Original von Domm
A_2 wäre dann nicht offen, aber abgeschlossen kann sie ja auch nicht sein, da es ja ein offenes Intervall hat.. Also ist die Menge weder offen noch abgeschlossen, also kann sie auch nicht kompakt sein?!?!

Stimmt. Nicht abgeschlossen, daher auch nicht kompakt. Aber die Nicht-Abgeschlossenheit musst du (nach deiner Definition) zeigen, indem du nachweist, dass das Komplement nicht offen ist.

lg
thoroh

17.01.2006, 18:19

Domm

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Nee, eigentlich muss ich das nicht beweisen, man soll nur entscheiden welche Menge kompakt ist und ne kurze Begründung schreiben, für mich ist das kein Beweis...

Ok, dann wären ja A_1 und A_2 erledigt, aber was ist mit A_3???

17.01.2006, 18:33

thoroh

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Die Begründung mit dem Intervall ist halt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ so eine Sache.

Du hast gesagt, eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie sowohl abgeschlossen, als auch beschränkt ist.
$\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ ist nicht beschränkt.
Wo ist da noch ein Problem?

lg
thoroh

17.01.2006, 19:30

Domm

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Mhh, ja hast recht, habe ich übersehen... Hammer

Vielen Dank dir...

18.01.2006, 12:18

Domm

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Hallo nochmal!!

Habe dazu noch eine Aufgabe gefunden und dahcte ist wohl am besten sie hier drunter zu schreiben.

(X,d) sei ein metrischer Raum und die Folge(x_n) konvergiert in X gegen x e X. Entscheiden Sie, ob die Mengen A_4 und A_5 stets kompakt sind.

A_4 := {x_n: n e N}

A_5 := A_4vereinigt mit{x}

Ok, bei der ersten Menge würde ich sagen, dass sie abgeschlossen ist und beschränkt und deswegen kompakt..

Die andere Menge A_5 ist aber nur abgeschlossen und desswegen nicht kompakt...

Wäre nett wenn sich das einer anschauen könnte...

Bis dann Domm

18.01.2006, 14:03

thoroh

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Hallo!

zu $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ : Unterscheide $\begin{eqnarray*} x \in A_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\notin A_4 \end{eqnarray*}$
zu $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ : sollte dann klarer sein.

Welche Menge ist stets kompakt?

lg
thoroh

18.01.2006, 14:14

Domm

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Also jede Menge die beschränkt und abgeschlossen ist, ist kompakt.

Mhh, endweder verstehe ich die Menge nicht oder einfach nicht was du nun von mir willst?!?!Warum muss ich, unterscheiden ob x einmal Element von A ist und einmal nicht ist??

Mhh wenn ich nun noch mal so überlege, da x_n ja eine Folge ist die gegen x konvergiert, ist die erste Menge dann nicht offen???

Glaube bin nun ganz durcheinander.... Hilfe

18.01.2006, 14:56

thoroh

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Sei $\begin{eqnarray*} x \notin A_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gehört dann zum Komplement der Menge $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Das heißt in jeder Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ liegt ein Folgeglied (sogar fast alle), und damit ein Element der Menge $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ .
Es gibt also keine Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die ganz im Komplement von $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ liegt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Das Komplement von $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ ist nicht offen und daher ist $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen.

lg
thoroh

18.01.2006, 15:06

Domm

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Ok, also wenn ich das nun richtig nachvollzogen habe, ist wenn x kein Element von A ist die Menge nicht abgeschlossen und somit nicht kompakt!!!

Aber wenn x zu dieser menge gehört wäre es doch abgeschlossen nd somit kompakt?!?!

Oder habe ich da nun wieder etwas falsch??

18.01.2006, 15:45

thoroh

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Zitat:

Original von Domm
Aber wenn x zu dieser menge gehört wäre es doch abgeschlossen nd somit kompakt?!?!

Gemeinsam mit der Beschränktheit folgt daraus die Kompaktheit. (falls $\begin{eqnarray*} X=\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ )
Siehe $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ .

lg
thoroh

18.01.2006, 22:14

Takeshi

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Zitat:

Original von Domm
Also jede Menge die beschränkt und abgeschlossen ist, ist kompakt.

Falsch! Jede kompakte Menge ist beschränkt und abgeschlossen. Die Umkehrung gilt aber im allgemeinen nicht.

Ein Gegenbeispiel. M sei eine beliebige Menge. Wir definieren auf ihr die sog. "diskrete" Metrik

d(x,y) =
1, falls x ungleich y
0, falls x = y

Nehmen wir mal eine Teilmenge H aus M. H ist beschränkt, da alle Punkte nicht weiter weg sind als 1 (schlampig formuliert)

In einem diskreten Raum sind alle Teilmengen offen (Wer's nicht glaubt, nachrechnen). Also ist das Komplement von H offen und H somit abgeschlossen.

In einem diskreten Raum sind Mengen aber nur dann kompakt, wenn sie endlich sind (Wer den Beweis sehen will: http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~dan/...S2005-2006/#auf Auf Lösungen klicken, bis Aufgabe 10 runterscrollen ). Dass H endlich ist, hat aber keiner gesagt. H wäre mit dieser Metrik abg. und beschränkt, aber nicht kompakt.

Richtig ist allerdings, dass Teilmengen des R^n kompakt sind, genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind.

19.01.2006, 17:41

Domm

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Ok..

Also A_4, da ist die Menge kompakt, da sie wenn x Element aus A ist abgeschlossen und beschränkt ist..

Und A_5 ist auch Kompakt, da die Menge abgeschlossen und beschränkt ist..

Habe ich das nun so richtig??

20.01.2006, 11:54

thoroh

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Nein. Takeshi hat vollkommen recht. Aus der Abgeschlossenheit und Beschränktheit einer Menge können wir ihre Kompaktheit nur folgern, wenn sie auch eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist.

Sorry, ich habe da nicht gut genug aufgepasst. Aber deine Aufgabe beginnt so:

Zitat:

Original von Domm
(X,d) sei ein metrischer Raum und die Folge(x_n) konvergiert in X gegen x e X. Entscheiden Sie, ob die Mengen A_4 und A_5 stets kompakt sind.

Wir haben es hier also mit einem beliebigen metrischen Raum zu tun.

Am besten ist, du gewöhnst dich an folgende Definition von Kompaktheit:
Eine Mege $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ heißt kompakt, falls es zu jeder offenen Überdeckung von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilüberdeckung gibt.

zu $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} x \notin A_4 \end{eqnarray*}$ : Es gibt eine Überdeckung, wo jedes Element seine eigene Umgebung hat, dh kein weiteres Element der Menge liegt in dieser Umgebung. Dann brauchst du alle (unendlich viele) Umgebungen um $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ zu überdecken. Alternativ reicht die Nicht-Abgeschlossenheit, weil ja Kompaktheit Abgeschlossenheit impliziert.

zu $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ : In jeder beliebigen offenen Überdeckung ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthalten. In jeder Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ liegen aber fast alle Elemente von $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ . Außerhalb verbleiben daher höchstens endlich viele.

lg
thoroh

20.01.2006, 17:25

Abakus

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Es ist wichtig zu verstehen, dass der Begriff Kompaktheit fundamental ist und damit eine wichtige Eigenschaft darstellt.

Die grundlegende Definition ist die oben genannte Überdeckungseigenschaft. Daher hängt Kompaktheit als Eigenschaft von dem System der offenen Mengen eines Raumes ab. Dieses System (= die Topologie) wird in metrischen Räumen von der Metrik bestimmt.

Der Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kann natürlich jeweils mit unterschiedlichen Metriken betrachtet werden.

Zitat:

Original von Takeshi
Richtig ist allerdings, dass Teilmengen des R^n kompakt sind, genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind.

Dieser Satz gilt nicht für beliebige Metriken. Er gilt etwa, wenn der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit der euklidischen Metrik betrachtet wird. Nimmt man die diskrete Metrik, wird dieser Satz (wie oben schon gesagt) falsch (die Menge der einpunktigen Mengen bildet eine offene Überdeckung, nimmt man nun auch nur eine einpunktige Menge raus, ist es keine Überdeckung mehr).

Der Satz, dass jede kompakte Menge (kompakt hier definiert nur durch die Überdeckungseigenschaft) auch abgeschlossen ist, ist ganz allgemein ebenfalls nicht korrekt. (Aus Kompaktheit folgt Abgeschlossenheit etwa dann, wenn der betrachtete Raum zusätzlich hausdorffsch ( $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ ) ist). In metrischen Räumen (das sind $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ -Räume) ist dies jedoch korrekt. Also auch hier ist Vorsicht angebracht.

Grüße Abakus smile

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