Konvergenz von Funktionsfolgen

17.01.2006, 20:30

G@st11

Konvergenz von Funktionsfolgen

Hallo!!

Ich habe eine Aufgabe mal wieder bekommen, bei der ich sehr große Schwierigkeiten habe, da wir die Definitionen und so noch nicht in der Vorlesung hatten..

Man beweise oder widerlege: Die Folgen (f_n), (g_n) bzw. (h_n) konvergieren gleichmäßig, d.h. bzgl. der Supremumus-Metrik d_c. Geben sie ggf. die Grenzfunktion an.
Hinweis: Untersuchen Sie zunächst die punktweise Konvergenz der Folgen und benutzen sie, dass gilt:

f_n --> f gleichmäßig(d.h. d_c(f_n,f)-->0)
=> f_n --> f punktweise ( d.h. f_n(x) -->f(x) für alle x)

(a) Seien f_n, g_n, h_n: [0,7] --> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} f_n(x):= \frac{n}{n+1}* n^{2}+ \frac{1}{n}sin* nx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_n(x) := \frac{7n+13}{2n}* x^{2}+n *e^{-nx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_n(x) := n* x^{2} \end{eqnarray*}$

(b) Seien g_n: [0,7] --> $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_n(x) := (\frac{n}{n+1}* x^{2}+ \frac{1}{n}sin*nx, \frac{7n+13}{2n}* x^{2}+n* e^{-nx})^t \end{eqnarray*}$

So nun zu meinem Problem, wir hatten noch nie gleichmäßige bzw. punktweise Konvergenz, habe mir zwar schon Definitionen dazu durch gelesen, aber so wirklich verstanden habe ich es noch nicht. Und die ganzen Funktionen sehen so kompliziert aus...

Wäre über Hilfe sehr dankbar...

MFG G@st11

17.01.2006, 23:00

Mathespezialschüler

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Verschoben

Soll das bei (a)

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{n}{n+1}x^2+\frac{\sin nx}{n} \end{eqnarray*}$

heißen? Punktweise Konvergenz heißt einfach, dass für ein festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert. D.h., dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn für jedes $\begin{eqnarray*} x\in [0,7] \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ .

Z.B. musst du dann den Grenzwert von der Folge $\begin{eqnarray*} a_n=f_n(3)=\frac{9n}{n+1}+\frac{\sin 9n}{n} \end{eqnarray*}$ finden und das halt nicht nur für $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ , sondern für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Die gleichmäßige Konvergenz bedeutet im Grunde, dass die punktweise Konvergenz bzgl. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gleichschnell ist. Lies dir mal das oder das durch.
Übrigens: Wie habt ihr die gleichmäßige Konvergenz im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert?

Gruß MSS

18.01.2006, 11:21

G@st11

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Danke für deine Antwort..

Ja das Problem ist wir hatten es noch gar nicht definiert...

Ok, also wenn ich erst einmal die Punktweise Konvergenz untersuchen will, dann schauen ich mir die ganzen x an und schaue gegen was die konvergieren, also aus dem gegebenen Intervall???

Aber was mach ich mit dem sinus in der Funktion???Hatten noch nie eine Funktion mit sinus und die auf Konvergenz untersucht...

Ja bei (a) ist das richtig, was du geschrieben hast...

18.01.2006, 19:53

Mathespezialschüler

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Zum Sinus: Der Nenner geht gegen unendlich. Wogegen geht dann wohl der gesamte Bruch? Und warum? Augenzwinkern

Gruß MSS

19.01.2006, 17:33

G@st11

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Mhh, das mit dem Sinus habe ich noch nich so wirklich verstanden, aber wenn bei einem Bruch der Nenner gegen unendlich geht, geht der ganze Bruch gegen 0...

Oder meinst du mit deiner Aussage den Bruch mit dem Sinus??

20.01.2006, 01:26

Mathespezialschüler

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Ja, ich meine den gesamten Bruch. Aber der geht hier auch gegen 0, und zwar deshalb weil der Sinus beschränkt ist. Das ist klar oder? Augenzwinkern

Gruß MSS

20.01.2006, 14:16

gast138

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hey, habe gerade auch punktweise und gleichmäßige konvergenz, und solche aufgaben.
und hab auch gleich ein paar fragen.
man weiss ja, dass aus aus gleichmäßiger konvergenz die punktweise folg, gilt auch die umkehrung?
ich hab versucht f(x) auf punktweise konvergenz zu untersuchen.
nun konvergiert aber die folge $\begin{eqnarray*} a_n:= \frac{n}{n+1}* x^{2}+ \frac{1}{n}sin* nx \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ heißt es, dass die funktion schon mal nicht punktweise konvergieren kann?

20.01.2006, 16:07

Mathespezialschüler

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Nein, die Umkehrung gilt nicht!
Deine letzte Folgerung ist genau falsch: Du hast nämlich gerade zeigt, dass deine Funktionenfolge punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ konvergiert!

Gruß MSS

20.01.2006, 16:09

Ben Sisko

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Zitat:

Original von gast138
man weiss ja, dass aus aus gleichmäßiger konvergenz die punktweise folg, gilt auch die umkehrung?

Dann wäre pktw. und glm. Konvergenz genau dasselbe.

Zitat:

Original von gast138
nun konvergiert aber die folge $\begin{eqnarray*} a_n:= \frac{n}{n+1}* x^{2}+ \frac{1}{n}sin* nx \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ heißt es, dass die funktion schon mal nicht punktweise konvergieren kann?

Punktweise Konvergenz ist eine schwächere Eigenschaft als gleichmäßige (weil jede Funktionenfolge, die glm. konv. aucgh pktw. konv.).
Was heisst also "dass die funktion schon mal nicht punktweise konvergieren kann"? Dann würde sie gar nicht konvergieren...

20.01.2006, 17:32

gast138

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stimm. dann wäre dann somit sozuagen gezeigt, dass die funktion punktweise konvergiert.
also hab ich das richtig verstanden, dass man a_n auf konvergenz untersuchen muss, wenn f_n(x):=a_n. und wenn a_n konvergiert, dann konvergiert die funktion punktweise. divergiert sie, so konvergiert die funktion nicht.
aber im falle einer punktweisen konvergenz muss ich doch die funktion auch noch auf gleichmäßige konvergenz untesuchen. und wie das geht hab ich leider auch nicht verstanden.
das einzige was ich mitbekommen habe ist, dass die funktion gleichmäßig konvergiert, wenn sie von n abhängig ist.
vielleicht könnt ihr mir kurz erklären wie man eine funktion auf gleichmäßige konvergenz untersucht. Hilfe

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