Dual

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
Dual
Hi...

wir haben schon wieder eine Aufgabe zum Dual bekommen und das ist einfach nicht mein Ding.

Seien V,W zwei K-Vektorräume.

Geben sie eine K-lineare Abbildung

so an, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

a) die Abbildung ist für beliebige V und W bijektiv

b) für je zwei K-lineare Abbildungen und

gilt:



mit ( sei die Verknüpfung zweier Abbildungen - ich weiß nicht, wie man das Zeichen hier über LaTex macht... )
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn die Operation "" bei euch definiert worden?
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab schon mitbekommen, dass unser Professor das etwas komisch eingeführt hat:



also wir haben quasi die Summe zweier Vektorräume als Tupel von Vektoren aufgefasst.

und bei den Abbildungen bin ich mir nicht sicher...

wir sollten mal eine Abbildung definieren und da war:



aber ich weiß nicht, ob er diese Definition immer noch meint, weil wir die uns quasi selber definiert haben - vielleicht ist sie aber auch allgemein wirklich gültig?!
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kannte bisher als direkte Summe zweier Vektorräume. Konnte mir aber schon denken, dass hier was anderes gemeint ist.

Gut jetzt sind wir uns darüber im Klaren. Zu deiner Aufgabe: An welcher Stelle hängst du denn?
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

naja das ist ja eigentlich auch die direkte Summe, aber wir haben sie als Tupel definiert und nicht als Summe - wie gesagt, das ist eine sehr unübliche Definition!

mein Problem ist schonmal, dass die Abbildung bijektiv sein muss...

aber ein Element aus ist doch eine Abbildung und
ein Element aus ist doch ein Tupel von Abbildungen, oder?

wie soll ich denn eineindeutig eine Abbildung auf zwei Abbilden?

das ist doch wie a auf (x,a) abzubilden - das ist doch niemals injektiv...

naja, aber ich glaube das das vielleicht auch an unserer Definition der direkten summe liegt...

aber wenn ich jetzt mal die übliche Definition nehme, dann währen die Elemente von ja z.B. (l+k) mit aber was ist denn die Summer zweier Abbildungen? - oder wird das bei Abbildungen als die Verknüpfung zweier Abbildungen definiert?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Info:
Innere vs äussere direkte Summe
 
 
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
naja das ist ja eigentlich auch die direkte Summe, aber wir haben sie als Tupel definiert und nicht als Summe


Stimmt! Hammer

Zitat:
aber ein Element aus ist doch eine Abbildung und
ein Element aus ist doch ein Tupel von Abbildungen


Stimmt auch. Haben denn die Vektorräume irgendeine bekannte topologische Sruktur (Norm, Skalarprodukt, ...)?

Zitat:
aber was ist denn die Summer zweier Abbildungen?

Wenn in deiner Bezeichnungsweise der Dualraum zu ist, dann sind die Bilder der Abbildungen Skalare und auf denen ist die Addition definiert. Die obige Definition von zwischen zwei Abbildungen ist also in diesem Fall völlig äquivalent zu der Definition für Mengen.

@Ben: Danke für die Info! Wink
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

es steht nichts über eine topologische Struktur in der Aufgabe, alles was gegeben ist habe ich auch hingeschrieben...

habt ihr denn keine Tipps?

ich meine, ich bin erst erstes Semester und duale Abbildungen sind einfach mal mit ein bisschen mehr Vorwissen verbunden, als wir es haben, aber unser Prof. ist da ein Freak...
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Dualitätstheorie im ersten Semester ist schon heftig.
Bzgl. der topologischen Struktur: Also man benötigt wenigstens einen normierten Raum, um diesen zu dualisieren. Der Dualraum ist dann sogar vollständig, also ein Banachraum. D.h. wir können voraussetzen, dass sowohl V als auch W normierte Räume sind.

Was bedeutet denn "*" als oberer Index einer Funktion? Und in welcher Beziehung stehen und (vgl. dein erster Post Aufgabe b))?
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wenn eine Abbildung ist, dann ist

und wir haben noch gezeigt, dass ist.

weil die Elemente von W* sind ja Abbildungen ( also l ist hier aus W* ).

soll wieder die Verknüpfung zweier Abbildungen sein....

weißt du wie das richtige Zeichen dafür in LaTex geht?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
\circ
wenn du das hier meinst
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

danke...

und was bringt es mir zu wissen, dass V und W normierte Räume sind?
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

achso:

wenn ist,

dann ist ja:

oder?

also ich meine beim Dualisieren, der Dualen Vektorräume - kommt da das gleiche raus? - kann ich mir nicht vorstellen...

aber wo soll dann der Unterschied sein?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber das würde nur gelten, wenn V und W reflexiv wären. Da aber nix zu den Räumen gesagt wurde wissen wir das nicht.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

bringt mich also auch nicht weiter...
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