Abgeschlossenheit von Mengen

18.01.2006, 16:59

Master1709

Abgeschlossenheit von Mengen

Hallo, habe hier folgende Aufgabe ... Könntet ihr mir vielleicht ein paar Denkanstöße geben? Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und $\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig. Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} N_c := \{x \in \mathbb R | f(x) = c\} \end{eqnarray*}$
abgeschlossen ist.

Vielen Dank im Voraus Augenzwinkern

18.01.2006, 19:36

thoroh

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Hallo!

Welche weitere Bedeutung hat $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ hier?

Darfst du das verwenden:
Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen sind wieder abgeschlossen.

lg
thoroh

18.01.2006, 19:42

20_Cent

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RE: Abgeschlossenheit von Mengen

Zitat:

Original von Master1709
Hallo, habe hier folgende Aufgabe ... Könntet ihr mir vielleicht ein paar Denkanstöße geben? Augenzwinkern

ich hab die gleiche aufgabe, ich verbesser mal Augenzwinkern

:

Sei $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und $\begin{eqnarray*} f: M \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig. Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} N_c := \{x \in M | f(x) = c\} \end{eqnarray*}$
abgeschlossen ist.

mfG 20

19.01.2006, 20:45

20_Cent

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Könnte bitte jemand gucken, ob diese Lösung stimmt?

Aus $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und $\begin{eqnarray*} f: M \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig folgt mit der Definition der Abgeschlossenheit und dem Folgenkriterium der Stetigkeit:

Für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\geq 1} \in M \end{eqnarray*}$ die konvergiert, liegt der Grenzwert $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ebenfalls in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=f(R) \end{eqnarray*}$

Jetzt konstruieren wir eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (x'_n) \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(x'_n)=c \end{eqnarray*}$ , die Folge liegt also in $\begin{eqnarray*} N_c \end{eqnarray*}$ und insbesondere in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt, wenn $\begin{eqnarray*} (x'_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert, liegt der Grenzwert $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ebenfalls in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Mit der Stetigkeit folgt $\begin{eqnarray*} f(H)=f(\lim_{n\to\infty}x'_n)=\lim_{n\to\infty}f(x'_n) = c \end{eqnarray*}$

daraus folgt der Grenzwert $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ der Folge $\begin{eqnarray*} (x'_n) \end{eqnarray*}$ liegt ebenfalls in $\begin{eqnarray*} N_c \end{eqnarray*}$ , daraus folgt mit der Definition der Abgeschlossenheit: $\begin{eqnarray*} N_c \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen.

mfG 20

19.01.2006, 21:08

JochenX

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Zitat:

Original von 20_Cent
Jetzt konstruieren wir eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (x'_n) \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(x'_n)=c \end{eqnarray*}$ , die Folge liegt also in $\begin{eqnarray*} N_c \end{eqnarray*}$ und insbesondere in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

ich verstehe nicht, warum "konstruieren" und warum "teilfolge"
"sei (x_n) eine folge in N_c" reicht doch vollkommen....

rest passt, denke ich (aber ihr kennt ja meine analysisfähigkeiten :-\ )

19.01.2006, 21:20

AJDenton

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Hast recht, es muss nur irgendeine Folge in N_c sein (Teilfolge und "konstruieren" ist unnötig).
Der Vorschlag stammt ursprünglich von mir, aber da ich Latex noch nicht beherrsche bzw. überhaupt nicht kann, hatte ich 20_Cent gebeten, den Post zu verfassen.
Ansonsten stimmt alles?

mfG AJ

PS: Hallo an alle! Bin ja neu hier.

19.01.2006, 22:45

Marcyman

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Mit dem Satz "Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen unter stetigen Funktionen" lässt sich das auch so lösen:

f: D --> R, f(x)=c, f stetig ist klar. Dann ist N=f^(-1)({c}) abgeschlossen als Urbild einer abgeschlossenen Menge.

Man kann solche Aufgaben mit dem oben angeführten Satz sehr gut handhaben (entsprechend auch offene Mengen), egal wie komplziert die Menge aussieht, solange man sie als Urbild unter stetiger Funktion betrachten kann.

19.01.2006, 23:07

AJDenton

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Ja, mit dem Satz ist das relativ einfach, ich kann das auch nachvollziehen. Nur hatten wir diesen Satz noch nicht, ergo dürfen wir den auch nicht benutzen.
Trotzdem danke für die Antwort, ich werd mir das mit dem Satz auf jeden Fall mal merken.

AJ

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